Đường thẳng giao nhau giữa hai mặt phẳng

Đường thẳng giao nhau giữa hai mặt phẳng$\Pi _{1}:\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {r} =h_{1}$ và $\Pi _{2}:\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {r} =h_{2}$ với $\mathbf {n} _{i}$ được chuẩn hoá cho bởi

$\mathbf {r} =(c_{1}\mathbf {n} _{1}+c_{2}\mathbf {n} _{2})+\lambda (\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})$

với

$c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}$

$c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}.$

Điều này có được bằng cách chú ý rằng các đường thẳng phải vuông góc với pháp tuyến của 2 mặt phẳng, và do đó song song với tích vectơ của chúng$\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}$ (tích vectơ bằng không khi và chỉ khi các mặt phẳng này song song, và do đó không giao nhau hoặc hoàn toàn trùng nhau).

Phần còn lại của biểu thức có được bằng cách tìm một điểm tùy ý trên đường thẳng. Để làm vậy, để ý rằng bất kỳ điểm nào trong không gian cũng có thể được viết dưới dạng$\mathbf {r} =c_{1}\mathbf {n} _{1}+c_{2}\mathbf {n} _{2}+\lambda (\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})$, do$\{\mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},(\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})\}$ là một cơ sở. Ta muốn tìm một điểm nằm trên cả hai mặt phẳng (nghĩa là nằm trên giao tuyến của chúng), do đó chèn phương trình này vào từng phương trình của từng mặt phẳng để có được hai phương trình đồng thời có thể tìm ra $c_{1}$ và $c_{2}$.

Nếu chúng ta cũng giả định rằng $\mathbf {n} _{1}$ và $\mathbf {n} _{2}$ là trực giao thì điểm gần nhất trên giao tuyến tới gốc là $\mathbf {r} _{0}=h_{1}\mathbf {n} _{1}+h_{2}\mathbf {n} _{2}$. Nếu không phải là trường hợp đó, thì một thủ tục phức tạp hơn phải được sử dụng