МЕТОД ЛОКАЛЬНИХ ВАРІАЦІЙ ДЛЯ ОПТИМІЗАЦІЇ

МЕТОД ЛОКАЛЬНИХ ВАРІАЦІЙ ДЛЯ ОПТИМІЗАЦІЇ

Стрімке розширення сфер застосування методів математичного моделювання й оптимізації, що відбувається в останні роки, формує потребу в розв'язуванні нових класів задач підвищеної складності та розмірності. Методи оптимізації можуть застосовуватися для розв'язування широкого кола прикладних проблем, що виникають у науці, техніці, біології, економіці, на виробництві тощо, тому сподіваються, що буде корисним для фахівців у різних сферах застосування математичних методів оптимізації. Ключові слова: системи керування, оптимальна структура, багатокритеріальна оптимізація, методи оптимізації. , параметрична оптимізація, алгоритм , проектувальник, метод оптимізації

Вступ

Оптимізація - це процес знаходження точки екстремального значення певної цільової функції .Це один з методів прикладної математики, фізики, інженерії, економіки, промисловості. Розвитку ідей багатокритеріальної оптимізації в процесі планування на підприємстві сприяють праці відомих зарубіжних та вітчизняних учених: В.В. Парето, Р. Штойера, С.І. Наконечного, В.В. Новожилова, В.В. Царьова, О.Г. Янкового. Однак деякі питання щодо вибору методів оптимізації структури капіталу до сих пір залишаються спірними. Метою дослідження є аналіз існуючих методів багатокритеріальної оптимізації в економічної літературі, вивчення переваг і недоліків цих методів.Область її застосування може поширюватися від мінімізації фізичних величин на мікро- і макрорівнях до максимізації прибутку або ефективності логістичних ланцюжків. Машинне навчання також загострене на оптимізації: всілякі регресії та нейронні мережі намагаються мінімізувати помилку між прогнозом та реальними даними. Екстремум може бути як мінімумом, так і максимумом, але зазвичай прийнято вивчати будь-яку оптимізацію виключно як пошук мінімуму, оскільки будь-яка максимізація еквівалентна мінімізації через можливість змінити знак перед цільовою функцією:Отже, в будь-якому місці нижче під оптимізацією ми розумітимемо саме мінімізацію.Описується метод побудови локальних варіацій профілю та його застосування до розв'язання задач оптимізації. Локальний пошук— пошук, що здійснюється алгоритмами локального пошуку, групою алгоритмів, у яких пошук ведеться тільки на підставі поточного стану, а раніше пройдені стани не враховуються й не запам'ятовуються.Основною метою пошуку є не знаходження оптимального шляху до цільової точки, а оптимізація деякої цільової функції, тому задачі, розв'язувані подібними алгоритмами, називають задачами оптимізації. Для опису простору станів у таких задачах використовують ландшафт простору станів, у цьому представленні задача зводиться до пошуку стану глобального максимуму, або мінімуму на даному ландшафті. Багатоцільовий підхід відрізняється від одноцільового не лише кількістю критеріїв, але і результатами рішення. Під результатом багатоцільової оптимізації «розуміється не якийсь певний план, а сукупність планів» [1-12]. Безліч всіх планів, що отримуються на основі реалізації методології векторної оптимізації, називається множиною Парето, а самі плани є оптимальними за Парето Математичні задачі оптимізації складних систем і процесів є актуальними. Критерієм оптимальності є компонент будь-якої оптимальної економікоматематичної моделі, характерний показник рішення задачі, за значенням якого оцінюється оптимальність знайденого рішення [5-9]. Вибір критерію оптимальності є важливим етапом при багатокритеріальній оптимізації, від того наскільки правильно вибраний критерій залежить кінцевий результат. При виборі критеріїв оптимальності дотримуються певних принципів, таких як, незалежність, узгодженість, принцип повноти та ін.

Є приклади задач оптимізації складних багатовимірних систем і процесів. Проблеми оптимізації задач великої розмірності. Методи Монте-Карло.Методи нелінійної оптимізації систем великої розмірності.Загальна задача нелінійного програмування і її геометрична та економічна інтерпретація. Градієнтні методи. Методи штрафних функцій. Методи спряжених напрямів. Методи локальних варіацій. Методи стохастичного пошуку. Методи нелінійної оптимізації з обмеженнями. Методи лінеаризації. Методи Ньютона. Методи Лагранжа. Методи умовного градієнта. Методи проекції градієнта.Прискорені методи випуклої оптимізації.Задача прийняття рішення у конфліктних ситуаціях. Задачі планування виробництва і запасів. Методи узагальнених градієнтів. Методи мінімаксної оптимізації. Методи відсікаючих гіперплощин. Теорія двоїстості. Методи негладких штрафних функцій. Двоїстий градієнтний метод. Метод Ерроу-Гурвіца. Методи декомпозиції. Методи можливих напрямів.Метод лінеаризації. Метод покомпонентного спуску. Методи спряжених градієнтів для мінімізації квадратичної функції. Модифіковані методи спряжених градієнтів. Методи спряжених напрямів. Методи градієнтного типу з розтягуванням простору.Задачі оптимізації при неповних даних.Методи стохастичної оптимізації при неповних даних.Задачі управління в умовах ризику та неповних даних. Узагальнена постановка задачі стохастичної оптимізації. Методи стохастичних градієнтів. Методи проектування стохастичних квазіградієнтів.Задача математичної статистики. Екстремальні задачі математичноїстатистики (метод найменших квадратів; метод максимальної вірогідності; оцінки середнього значення). Задача діагностики. Задача керування випадковим процесом. Задача планування запасів. Задача оптимізації системи обслуговування. Ігрова стохастична задача. Методи стохастичних градієнтів з постійним кроком. Методи випадкового пошуку та локального випадкового пошуку. Стохастичні аналоги методів нелінійного програмування -стохастичний метод штрафів;стохастичний квазіградієнтний метод.Методи оптимізації керованих систем при неповних даних.Задачі оптимізації у функціональних просторах. Лінійна задача оптимального керування. Градієнтні методи побудови оптимальних програмних керувань. Принцип максимуму Понтрягіна. Методи узагальнених градієнтів. Методи проекції градієнтів. Методи локальних варіацій. Багатокрокові процеси і метод динамічного програмування.Задача оптимального розподілення ресурсу. Загальні задачі оптимального керування. Задачі синтезу.Методи багатокритеріальної оптимізації.Матричні і диференціальні ігри. Методи побудови оптимальних стратегій для лінійних диференціальних ігор. Методи багатокритеріальної оптимізації. Алгоритми і програми для задач відшукання сідлових точок.

Методи оптимізації ієрархічно-керованих систем

Тут подано відомості про основні поняття, теоретичні підґрунтя та математичні методи аналізу даних. Розглянуто основні параметри описової статистики, методи побудови емпіричних функцій розподілу, принципи побудови й критерії перевірки гіпотез про однорідність вибірок та їх відповідність певним законам розподілу, теоретичні основи та базові алгоритми дисперсійного, кореляційного, регресійного та факторного аналізу, а також методи класифікації даних. Математичні методи аналізу даних широко використовують при дослідженні різноманітних систем і процесів – природних, технічних, екологічних, економічних, соціальних тощо. З огляду на це формування відповідних знань та навичок є необхідною складовою підготовки фахівців у галузі системних наук і кібернетики, інформатики та багатьох інших галузей знань.

Сучасні методи аналізу даних були розвинені у працях Ю.П. Адлера, С.А. Айвазяна, Т. Андерсона, Й. Барда, Л.М. Большева, Б.В. Гнеденко, Н. Дрейпера, А.М. Дуброва, К. Іберли, І.А. Ібрагімова, А.Г. Івахненка, Дж. Кіфера, К.Х. Крамера, М. Кендалла, Г. Куллдорфа, Б.Ю. Лемешка, Ю.В. Лінника, Г.В. Мартинова, В.В. Налімова, М.С. Нікуліна, О.І. Орлова, І.М. Парасюка, Е. Пітмена, Ю.В. Прохорова, Е. Пятецького-Шапіро, С.Р. Рао, Г. Смита, А. Стьюарта, Дж. Тьюкі, Г. Хоттелінга, П. Хьюбера, А. Хьютсона, О.О. Чупрова, Д.У. Юла та багатьох інших дослідників[1-21].

Останнім часом значного поширення набувають нові технології й методи аналізу даних, зокрема методи інтелектуального аналізу даних, які використовують для виявлення прихованих закономірностей у великих масивах даних, та нейроінформатики, а також методики й засоби статистичного контролю за якістю на виробництві та в управлінні організаціями. Основні процедури аналізу даних найчастіше реалізують за допомогою сучасних комп’ютерних технологій. Принцип повноти – при відборі критеріїв важно виявити круг показників, які допомогли б врахувати всі сторони досліджуваного об'єкту і отримати обґрунтований результат. Найчастіше при вирішенні економічних, фінансових, інвестиційних завдань використовуються наступні методи: метод справедливого компромісу, метод згортання векторного критерію в глобальний критерій, метод головного критерію, цільового програмування, метод квазіоптимізації локальних критеріїв (метод послідовних поступок). Кожен з них дає різні результати, тому не можна сказати, що один краще за інший. Розглянемо деякі з них детальніше. Метод справедливого компромісу передбачає, що всі локальні критерії оптимізації мають однакову важливість. Справедливим вважається такий компроміс, при якому відносний рівень зниження якості поодинці або декільком критеріям не перевершує відносного рівня підвищення якості за останніми критеріями (менше або рівний) [16-20]. Метод згортання векторного критерію в глобальний критерій. Цей метод приводить багатокритеріальну оптимізацію у вигляд однокритеріальної шляхом «згортання» декількох локальних критеріїв в один (глобальний). В.В. Царьов відзначає, що даний метод доцільніше застосовувати в тому випадку, якщо домінування одного критерію над іншим відсутнє. Це згортання утворюється штучно. Ідеї локального пошуку при розв’язанні задач комбінаторної оптимізації є найбільш природними і наочними. Перші кроки з їх реалізації належать до кінця 50-х років XX століття. Першопрохідцями цього напряму були Ю.І. Журавльов, який запропонував алгебраїчну теорію локальних алгоритмів, і Л.А. Растригін, який досліджував ймовірнісні алгоритми локального пошуку. На Заході перші дослідження пов'язані переважно з задачею комівояжера. Пізніше ці ідеї використовувалися для задач розміщення, побудови мереж, розкладів та інших. Проте доволі швидко виявилося, що локальний пошук не гарантує знаходження глобального оптимуму задачі. Локальні алгоритми стали використовувати переважно в гібридних схемах, схемах декомпозиції і для отримання наближених рішень у складних дискретних задачах. Досліджувалися можливості побудови найкращої послідовності локальних алгоритмів, методи випадкового пошуку з локальної оптимізації і керованого випадкового пошуку. Тим не менше, відсутність концептуального прогресу послабило інтерес до даного напряму.У останні 5-10 років спостерігається відродження цього підходу. Воно пов'язане як з новими алгоритмічними схемами, побудованими на аналогіях з живою і неживою природою, так і з новими теоретичними результатами в області локального пошуку. Змінився загальний погляд на побудову локальних алгоритмів. Вимога монотонного поліпшення цільової функції більше не є домінуючим. Найбільш потужні імовірнісні алгоритми допускають довільне її погіршення, і багато з них можуть розглядатися як спосіб породження кінцевих ланцюгів Маркова на відповідній множині станів. Поява мета евристик, таких як генетичних алгоритмів, локального пошуку з заборонами, імітації та інших, відкрило широкий простір для вирішення прикладних задач дослідження операцій. [3-21] При розгляді методу послідовних поступок важливе місце займає еталонний метод, який полягає в поступовому наближенні за всіма локальними критеріями до ідеального рішення. Спочатку для кожного окремого критерію вирішується однокритеріальне завдання за допомогою симплекс-методу. В результаті утворюється деяке число оптимальних планів n з максимальними значеннями (якщо завдання полягає в максимізації критерію). Другий етап включає рішення однокритеріальної задачі за глобальним критерієм в наступному вигляді: Таким чином, основна ідея еталонного методу полягає в тому, щоб знайти рішення задачі в області, найбільш наближеної до ідеальної. Аналітики узагальнюють еталонний метод і метод мінімізації модулів часток відхилень, оскільки у цих методах основні недоліки однакові. Але в той же час вираження даних методів мають різний вигляд. Окрім вищевикладених методів векторної оптимізації, науці відомий такий метод, як генетичний алгоритм, який був запозичений з біології. Генетичний алгоритм – це алгоритм пошуку, використовуваний для вирішення завдань оптимізації за допомогою випадкової селекції, комбінування і варіації шуканих параметрів з використанням механізмів, що нагадують біологічний розвиток. Тому при розгляді даного прийому аналітики оперують такими поняттями як популяція, схрещування, генотип і ін.

Метод локальних варіацій

Метод локальних варіацій один із прямих методів чисельного вирішення завдань оптимального управління з обмеженнями на фазові координати та керуючі функції, заснований на варіюванні у просторі станів [1 - 13]. Метод локальних варіацій вихідне завдання оптимального управління, задане у формі Лагранжа задачі, знаводиться в результаті дискретизації за аргументом задачі мінімізації адитивного функціоналу.Н.В. Банічук, В.М. Петров, Ф.Л. Чорноусько методом локальних варіацій рішили пружно-пластичну задачу у разі квадратного перерізу , а також для багатокутника [1-6]. Зазначений метод застосовувався також на вирішення пружно-пластичних завдань на роботах [17, 18].

Метод локальних варійацій є одним із ефективних чисельних методів вирішення варіаційних завдань . Системний виклад методу , питання теорії та характеристика деяких завдань міститься в [1-17]. Метод локальних варіацій (МЛВ) - один з варіантів методів варіацій у фазовому просторі , розвинених у роботах Н. Н. Моїсеєва та ін. 4- 15], в яких в основу покладена варіація фазових компонентів траєкторії. [10- 20]Характерною особливістю цих методів є простота обліку різних обмежень у фазовому просторі . На відміну з інших дані методи (якщо вони реалізуються) дають не локальний, який визначається вибором початкового наближення, а глобальний мінімум .Однак ця перевага носить формальний характер, як показано в [7, 7] через великий обсяг обчислень. При рішенні чисельних варіаційних задач використовуються спрощені варіанти методів метод локальних варіацій . МЛВ дозволяє знайти локальні мінімуми функціоналів [15-20] .Для чисельного розв'язання пружно-пластичного задач застосовується метод кінцевих елементів з розбивкою області на прямокутні рівнобедрені трикутники і метод локальних варіацій [7-12].   А також моделювання зони кінця тріщини. Екстремальні властивості функціоналу дозволяють вирішити завдання термопружності в тілі з нелінійно-пружного матеріалу застосувати метод локальних варіацій [5-11]. Маючи нульове наближення для вектора вузлових значень [ 5-12] .У деяких задачах , особливо з обмеженнями у формі нерівностей може виявитися ефективним метод локальних варіацій [5-19], який є одним з варіантів методу координатного спуску без обчислення похідних. [1-8] .Методи рішення двомірних контактних завдань тонкостінних елементів також розвинені. Метод локальних варіацій має слабку збіжність для мембран і рідко застосовується до пластин. [11-20] .Мабуть, першою роботою, у якій контактне завдання вирішувалося методом локальних варіацій, була робота [11-13]. Автору при чисельній реалізаціїцього методу довелося подолати значні труднощі, пов'язані з наявністю великої кількості невідомих, що підлягають варіюванню. Додаток методу локальних варіацій до вирішення обговорюваних завдань дано в роботах [11, 20, 21], в яких розроблено удосконалений варіант методу, заснований на блоковому варіювання невідомих як за обсягом конструкції, так і між собою, що дозволило зменшити витрати машинного часу.[2-16]Рішень контактних завдань , у яких рівновага оболонки описано геометрично чи фізично нелінійної теорією, у літературі значно менше. В основному це дослідження Г. І. Львова [6-17]. У них запропоновано варіаційну постановку контактних завдань для тонкостінних гнучких елементів конструкцій на основі деформаційної теорії пластичності Іллюшина, теорій пластичнсті та технічних теорій нелінійної повзучості. За допомогою варіаційних нерівностей дано визначення узагальненого розв'язання та завдання зведено до проблеми мінімізації функціоналу, заданого на безлічі допустимих рішень. Мінімізація функціоналів виконана методом локальних варіацій, поперечне обтиснення оболонки у зоні контакту . [13-19] .Стержні прямокутного та багатокутного поперечного перерізу . Зазначимо, що застосований чисельний метод розв'язання варіаційних задач - метод локальних варіацій. [17-21] .Теоретичні дослідження засновані на застосуванні модифікованого методу локальних варіацій - чисельного методу розв'язання варіаційних завдань . Сутність методу, його особливості щодо зазначених завдань описані.   [20]Рішення перебуває з допомогою методу локальних варіацій [8-14]. Численні рішення контактних завдань побудовані у багатьох роботах. Першою з таких робіт була, мабуть, робота [11-20], присвячена вирішенню контактних завдань для пружних пластин шляхом локальних варіацій з використанням функціоналу Лагранжа.   [1-13] Перейдемо до визначення відпосптельних переміщень у вузлових точках , які повідомляють мінімальне значення дискретним [6-18] та [2-19], скористаємося чисельним методом локальних варіацій [3=11]. Алгоритм рішення за допомогою цього методу полягає у наступному. Задамо початкове наближення для компонент зсувів, і у всіх внутрішніх вузлах області і для тих граничних точок , де зсуви підлягають визначенню. Як початкове наближення можна прийняти розподіл переміщень, отриманий з вирішення пружного завдання . Вибираючи досить малий крок h, здійснимо варіювання зміщень у всіх внутрішніх точках . Зазначимо, що зміна переміщень в одній точці призводить до зміни лише частини доданків у сумах, а саме тих, що пов'язані з елементами, що оточують цей вузол.   [2-5]Однотипність простих повторюваних обчислювальних операцій робить метод локальних варіацій зручним для реалізації на ПЕОМ і дозволяє при вирішенні нелінійної просторової задачі термопружності уникнути багаторазового вирішення громіздкої системи лінійних рівнянь алгебри , хоча для пошуку досить точного рішення потрібно зазвичай велике число і. методу локальних варіацій для пошуку рішення ефективно застосовувати різні методи оптимізації і, зокрема, градієнтні методи.   [2-13] На відміну від використаних раніше точетань методів кінцевих різниць , кінцевих елементів , локальних варіацій з ітеративними процесами, в цій монографії побудована методика, що базується на лінеаризації крайових завдань , зведення їх до ряду завдань.і метод ортогональної прогопкн С. К. Годунова .Головним у ній, однак, є не той чи інший конкретний метод вирішення нелінійної крайової задачі , а виключення контактного тиску з числа невідомих функцій введенням його явного зв'язку з поперечним обтисканням податливого шару між оболонкою та штампом або самої оболонки. У задачах про контакт оболонки з вніклеровою основою такий зв'язок виникає природним чином, при вивченні взаємодії оболонки зі штампом вона вводиться раніше, щоб висловити прогин через контактний тиск. [8-13]Результати розрахунку статистичних моментів об'ємних та зсувних деформаційдля односпрямованого волокнистого склопластику та органопластику залежно від величини наповнення і для квазіперіодичної структури , при різних значеннях ступеня розпорядкованості у порівнянні з рішенням методу локального наближення представлені відповідно. Результати розрахунку коефіцієнтів варіацій об'ємних та зсувних [1-20]

Області застосування

• Пошук локального мінімуму з заданої точки з урахуванням обмежень; • Ефективне уточнення наближених оцінок глобально-оптимального рішення; • Стеження за дрейфом локально-оптимального рішення при зміні параметрів; • Швидке попереднє дослідження структури розв'язуваної багатовимірної задачі; • Наближене розв’язання задач високої розмірності (у поєднанні з простими методами покриттівобласті пошуку). [4-14] Аналіз обчислювальної складності локального пошуку в останні роки інтенсивно ведеться в двох напрямах: емпіричному та теоретичному. Ці напрями дають істотно різні оцінки можливостям локального пошуку.

• Емпіричні результати

Для багатьох складних задач локальний пошук дозволяє знаходити наближені рішення, близькі до глобального оптимуму по цільовій функції. Трудомісткість алгоритмів часто виявляється поліномінальною, причому ступінь полінома досить мала. Для задач комівояжера алгоритми локального пошуку є високо ефективними з практичної точки зору. Один з таких алгоритмів з околицею Ліна-Керніган для класичної задачі комівояжера має похибку в середньому біля 2% і максимальна розмірність вирішуваних завдань досягає 1 000 000 міст. На випадково згенерованих завданнях такої колосальної розмірності ітераційної процедури Джонсона дозволяє знаходити рішення з відхиленням близько 0,5% на сучасних комп'ютерах за кілька хвилин. Для задач теорії розкладів, розміщення, покриття, розфарбування та багатьох інших складних задач алгоритми локального пошуку показують гарні результати. Їх гнучкість при зміні математичної моделі, простота реалізації і наочність перетворюють локальний пошук в могутній інструмент для розв’язання NP-складних задач.

• Теоретичні результати

Дослідження локального пошуку з точки зору гарантованих оцінок якості показують межі його можливостей. Побудовані важкі для локального пошуку приклади, яких випливає, що: 1. мінімальна точна околиця може мати експоненційну потужність; 2. число кроків для досягнення локального оптимуму може виявитися експоненціальним; 3. значення локального оптимуму може як завгодно сильно відрізнятися від глобального оптимуму; 4. мінімальна відстань між локальний оптимум може бути як завгодно великим.[3]

Застосування локального пошуку для розв'язання задач

Методи локальної оптимізації широко використовуються в практичних розрахунках при розв'язанні задач у різних галузях науки, техніки та економіки.

Алгоритми локального спуску широко застосовуються для вирішення NP-важких задач дискретної оптимізації. Багато поліноміальних розв'язні завдання можуть розглядатися як завдання, легко розв'язувані таким способом. При відповідному виборі полиноміальної околиці відповідна теорема може бути сформульована в наступному вигляді: допустиме рішення не є глобальним оптимумом, якщо і тільки якщо може бути покращено деяким локальним чином.

• Лінійне програмування. Геометрично симплекс метод можна інтерпретувати як рух по вершинах багатогранника допустимої області. Вершина не є оптимальною, якщо і тільки існує суміжна з нею вершина з меншим значенням цільової функції. Алгебраїчно, в припущенні не виродженого завдання базисне допустиме рішення не є оптимальним, якщо і тільки якщо воно може бути покращено локальним зміною базису, тобто заміною однієї базисної змінної на небазисну. Отримана таким чином околиця є точною і має поліноміальну потужність.

• Мінімальне остовне дерево. Остовне дерево не є оптимальним, якщо і тільки якщо локальною перебудовою, додаючи одне ребро і видаляючи з циклу утворилося інше ребро, можна отримати нове остовне дерево з меншою сумарною вагою. Операція локальної перебудови задає відношення сусідства на безлічі основних дерев. Околиця будь-якого дерева має поліноміальну потужність, а сама околиця є точною.

• Максимальне паросполучення. Паросполучення не є максимальним, якщо і тільки якщо існує збільшуваний шлях. Два паросполучення називають сусідніми, якщо їх симетрична різниця утворює шлях. Визначена таким чином околиця є точною і має поліноміальну потужність. Аналогічні твердження справедливі для зважених паросполучень, здійснених паросполученнями мінімальної ваги та завдань про максимальний потік.[3-10]

Застосування локального пошуку для розв'язування таких задач: - задача про вершинне покриття,в якому рішення є вершиною графа, а метою є знаходження розв’язку з мінімальною кількістю вузлів; - задача комівояжера, в якій рішенням є цикл, що містить всі вузли графа, і метою є мінімізації загальної довжини циклу; - задача здійсненності бульових формул, в якій кандидат рішення є істиною завдання, а мета полягає в максимізації числа пунктів, що задовольняють завдання, в даному випадку, остаточне рішення про використання тільки тоді, коли вона задовольняє всі пункти; - задача на планування роботи медсестер, у якій рішення є завдання медсестер працювати зі змінами, що задовольнить усі встановлені обмеження. [5-16] Метод локальних варіацій поверхні у задачах оптимізації форми профілю Критерієм визначення, що результат досягнутий є ситуація при якій рішення знаходиться в області деякого екстремуму і майже однакові. Генетичний алгоритм володіє наступними перевагами: 1. реалізуються для вирішення широкого кола завдань; 2. може бути використаний в завданнях з умовами, що змінюються; 3. застосовується при вирішенні великомасштабних проблем оптимізації. При цьому існують недоліки, які полягають в довготривалості виконання функції оцінки; рішення задачі не одне, а безліч і ін. Учені підкреслюють, що зазвичай генетичні алгоритми застосовуються в учбових (тестових) цілях, для реальних завдань, що мають точні рішення, вони не використовуються [18]. Ми приходимо до висновку, що відсутній універсальний метод оптимізації. Особа, що приймає рішення, сама вирішує, які використовуватиме Створення множини рішень Відбір прийнятних рішень Створення проміжних рішень шляхом (кросовера) схрещування Мутація рішень

Особливу увагу необхідно приділити забезпеченню потрібною інформацією і обґрунтованості отриманих результатів.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Гарт Е., Гудрамович В. Проекційно-ітераційний варіант методу локальних варіацій та його застосування до задач стійкості оболонкових конструкцій при локалізованих навантаженнях. Сучасні проблеми механіки та математики: збірник наукових праць у 3-х т. ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України. 2018. Т. 1. С. 28–29. 02.09.2018.

2. Бейко И. В., Бублик Б. Н., Зінько П. Н. Методи і алгоритми розв’язування задач оптимізації. — К.: Вища шк., 1993. — 512 с.

3. Кириленко В. Методи оптимізації і дослідження операцій: Навч.посіб. — К.: Таксон, 1998. — 334 с.

4. Методи оптимізації і дослідження операцій: Навч. посіб. Для студ. вищ. навч. закл. / Н. О. Гончарова, А. І. Ігнатюк, Н. А. Малиш та ін. — К.: МАУГІ, 2005. — 304 с.

5. Базилевич В., Лук’янов В., Писаренко Н. та ін. Методи оптимізації і дослідження операцій: Опорний конспект лекцій. — К.: Четверта хвиля, 1997. — 248 с.

6. Будаговська С. та ін. Методи оптимізації і дослідження операцій та макроекономіка. — К.: Основи, 1998. — 518 с.

7. Макконнелл К. Р., Брю С. Л. Аналітична економія. Принципи, проблеми і політика: Ч. 2. Методи оптимізації і дослідження операцій.Пер. з англ. / Наук. ред. перекладу Т. Панчишина. — Л.: Просвіта, 1999.— 432 с.

8. Шидайк Р. С, Рубінфельд Д. Л. Методи оптимізації і дослідження операцій / Пер. з англ. А. Олійника, Р. Скільського. — К.: Основи, 1996. — 646 с.

9. Гарт Э. Л., Гудрамович В. С. Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач с квадратичным функционалом. Прикл. математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 2. С. 218–229.

10. Самуельсон П. А., Нордгауз В. Д. Методи оптимізації і дослідження операцій: Пер. з англ. / За ред. С. Панчишина. — К.: Основи,1998. — 676 с.

11.Моїсеєв Н. Н., Чисельні методи в теорії оптимальних систем, М., 1971;

12.Бурак Я. І., Огірко І. В. Застосування методу нелінійної релаксації до оптимізації нагріву оболонок обертання // Тез. докл. VII науч. конф. по застосуванню ЕОМ в механіці деформ. тв. тіла (Ташкент, 30 вересня — 2 жовтня 1975 р.). — Ташкент, 1975. — Ч. III. — С. 5.

13.Бурак Я. І., Огірко І. В. Про визначення термопружності стану оболонки екрану кінескоп з урахуванням температурної залежності характеристик матеріалу // Якість, міцність, надійність і технологічність електровакуумних приладів. — К.: Наукова думка, 1976. — С. 59—62.

14.Бурак Я. І., Огірко І. В. Оптимальний нагрів циліндричної оболонки з залежними від температури характеристиками матеріалу // Мат. методи і фіз.-мех. поля. — 1977. — Вип. 5. — С. 26—30.

15.Огірко І. В. Раціональний розподіл температури по поверхні термочуттєвого тіла… // Інженерно-фізичний журнал. — 1984. — Т. 47. — № 2 (серпень). — С. 332.

16.Огірко І. В. Оптимальне по напрузі температурне поле в локальній області гнучкої конструкції // Інститут проблем міцності. — 1986. — № 2. — C. 69—72.

17.Ogirko I. V., Irkha B. E. A study of the elastic deformations in a thermoelastic inhomogeneous solid of revolution // Journal of Mathematical Sciences. — 1996. — Vol. 79. — Iss. 6. — P. 1469—1471.[4]

18.Ogirko I. V., Zapotochnyi V. I. The stress-strain state of screen photopolymer plates // Soviet Materials Science. — 1987. — № 22 (6). — P. 640—643.

19.Ogirko I. V. Temperature field, optimum with regard to stresses, in a local region of a flexible structure // Strength of Materials. — 1986. — № 18 (2). — P. 209—213.

20.Ogirko I. V. Stress-Optimal Temperature Field in the Local Region of a Flexible Structure // Problemy Prochnosti (2). — 1986. — P. 69—72.

21. Гудрамович В. С., Гарт Е. Л. Проекционно-итерационная модификация метода локальных вариаций для задач локальной устойчивости сферических оболочек. Доп. НАН України. 2015. № 8. С. 35–42.

Для студентів старших років навчання та аспірантів. Основною метою є ознайомлення студентів з основами проведення наукових досліджень. Огірко І.В.