פונקציות

שעור עשירי - פונקציות

כל אחד יודע שפונקציה היא "התאמה" בין אברים של קבוצה אחת לאברים של קבוצה אחרת. (הפונקציה "אורך הזנב" מתאימה לכל חתול את האורך, בסנטימטרים, של הזנב שלו). הגענו עד הלום בפיתוח מבנים של תורת הקבוצות, כדי שנוכל לתת למשמעות הזו הגדרה מסודרת. אנחנו מעוניינים להגדיר, עבור שתי קבוצות A ו-B, את המושג "פונקציה מ-A ל-B". פונקציה כזו אמורה לקבל ערכים בקבוצה A, ולהחזיר - לכל אחד מהם - ערך חד-משמעי בקבוצה B.

הגדרה. פונקציה מ-A ל-B היא תת-קבוצה $\ f\subset A\times B$, כך שלכל $\ a\in A$, קיים $\ b\in B$ יחיד כך ש- $\ (a,b)\in f$. מסמנים $\ f:A\rightarrow B$; את הערך b המוזכר בהגדרה מסמנים בסימון המוכר $\,f(a)$. לפעמים אומרים שהפונקציה "מוגדרת מ-A", או "מוגדרת אל B".

דוגמא. הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם בין 3 ל-7 את הריבוע שלו היא קבוצת הזוגות הסדורים $\ \{(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49)\}$.

דוגמא. לכל קבוצה A יש פונקציה $\ id_{A}:A\rightarrow A$ הנקראת "פונקציית הזהות", וכוללת את כל הזוגות $\ (a,a)$ עבור $\ a\in A$, ורק אותם. הפונקציה הזו מתאימה לכל איבר של A את עצמו.

תרגיל. כתוב את כל הפונקציות האפשריות מהקבוצה $\ \{1,4\}$ לקבוצה $\ \{2,8\}$.

תרגיל. לכל קבוצה B, הפונקציה היחידה $\ \emptyset \rightarrow B$ היא הקבוצה הריקה.

תרגיל. אם A קבוצה לא ריקה, אז לא קיימות פונקציות $\ A\rightarrow \emptyset$.

תרגיל. אם $\ f,g:A\rightarrow B$ שתיהן פונקציות, ואחת מהן מכילה את רעותה (בתור תת-קבוצות של $\ A\times B$), אז הן שוות.

הערה. אם $\ f:A\rightarrow B$ היא פונקציה ו- $\ B\subseteq B'$ קבוצה, אז אפשר לראות ב-f פונקציה $\ A\rightarrow B'$ (זוהי "הרחבת טווח הפונקציה"). בדומה לזה, אם $\ A'\subseteq A$ תת-קבוצה, אז אפשר לצמצם את f לכדי פונקציה $\ f|_{A'}:A'\rightarrow B$ ("צמצום תחום הפונקציה"); הפונקציה המצומצמת מוגדרת לפי $\ f|_{A'}=f\cap (A'\times B)$, כלומר, היא כוללת את הזוגות $\ (a,b)\in f$ שעבורם $\ a\in A'$.

אם $\ f:A\rightarrow B$ פונקציה, אז לכל תת-קבוצה $\ A_{0}\subseteq A$ מסמנים $\ f(A_{0})=\{f(x):x\in A_{0}\}$, וזו תת-קבוצה של B. באופן הזה הפונקציה מגדירה פונקציה $\ P(A)\rightarrow P(B)$. זוהי הגדרה שימושית מאד, משום שלעתים קרובות אנו רוצים להפעיל את הפונקציה בבת-אחת על קבוצה של אברים. שימו לב שאם $\ A_{0}\subseteq A_{1}$ הן תת-קבוצות של A, אז $\ f(A_{0})\subseteq f(A_{1})$.

פונקציות חד-חד-ערכיות

פונקציה מ-A ל-B צריכה להתאים לכל ערך בקבוצה A, ערך יחיד בקבוצה B. אבל בדרך כלל, הפונקציה עשויה להחזיר את אותה תשובה עבור ערכים שונים של A. למעשה, פונקציה משעממת במיוחד יכולה להחזיר את אותו ערך כל הזמן (פונקציה כזו נקראת "קבועה").

בהמשך נזדקק לפונקציות שאינן מחזירות אף ערך פעמיים. נגדיר את משפחת הפונקציות המתאימה במדויק:

הגדרה. פונקציה $\ f:A\rightarrow B$ היא פונקציה חד-חד-ערכית אם לכל $\ a,a'\in A$, מהשוויון $\ f(a)=f(a')$ נובע $\ a=a'$. במלים אחרות, לכל $\ a\neq a'$ ב-A מתקיים $\ f(a)\neq f(a')$.

(הפונקציה נקראת "חד-חד-ערכית" משום שהיא מתאימה לכל ערך (אחד ומיוחד) בקבוצה הראשונה ערך (אחד ומיוחד) בקבוצה השניה. מנקודת מבט זו אפשר לומר שקבוצה "חד-ערכית" של זוגות סדורים היא קבוצה שבה לכל ערך מתאים ערך יחיד - כלומר, פונקציה).

תרגיל. כמה פונקציות חד-חד-ערכיות יש מקבוצה בגודל 3 לקבוצה בגודל 4? וכמה מקבוצה בגודל 4 לקבוצה בגודל 3?

תרגיל. הוכח: הקבוצה הריקה, כפונקציה $\ \emptyset \rightarrow B$, היא חד-חד-ערכית.

תרגיל. כתוב את כל הפונקציות מהקבוצה $\ \{9,11\}$ אל עצמה, שהן חד-חד-ערכיות.

פונקציות על

פונקציה מ-A ל-B צריכה להתאים לכל ערך בקבוצה A, ערך כלשהו בקבוצה B. יש ערכים של B שלעולם אינם מתקבלים, וזה בסדר גמור, לסתם פונקציה. באופן דואלי לדרישת החד-חד-ערכיות, בהמשך נרצה שהפונקציות שלנו תקבלנה את כל הערכים האפשריים ב-B. פונקציות כאלה נקראות "פונקציות על", לא מפני שיש בהן משהו עילאי, אלא מכיוון שהן מכסות לחלוטין את הקבוצה שאליה הן מוגדרות.

הגדרה. פונקציה $\ f:A\rightarrow B$ היא פונקציה על אם לכל $\ b\in B$ קיים $\ a\in A$ כך ש-$\ f(a)=b$.

תרגיל. הסבר מדוע הפונקציה $\ f(x)=x^{2}$ מן המספרים הממשיים אל המספרים החיוביים היא על, אבל אינה חד-חד-ערכית.

תרגיל. כמה פונקציות על יש מקבוצה בגודל 3 לקבוצה בגודל 4? וכמה מקבוצה בגודל 4 לקבוצה בגודל 3?

תרגיל. כתוב את כל הפונקציות מהקבוצה $\ \{9,11\}$ על עצמה. השווה את התשובה לתרגיל הקודם שעסק באותה קבוצה.

הערה. הפונקציה $\ f:A\rightarrow B$ היא גם פונקציה $\ A\rightarrow f(A)$; וככזו, היא תמיד על.

• 
  פונקציה חח"ע אך לא על
• 
  פונקציה על אך לא חח"ע
• 
  פונקציה חח"ע ועל (הפיכה)
• 
  פונקציה לא חח"ע ולא על

<< השיעור הקודם - מכפלה קרטזית

דף הקורס - תורת הקבוצות

השיעור הבא - הרכבת פונקציות >>