שוויון קבוצות

שיעור שלישי - שוויון קבוצות

בשעור הקודם קבענו שלקבוצה אין מבנה פנימי. הגדרת השוויון בין קבוצות מחדדת את ההצהרה הזו, וקובעת שאפשר לזהות קבוצה באופן חד-משמעי לפי האיברים שלה. היינו:

• הקבוצות $\ A$ ו-$\ B$ שוות אם ורק אם כל איבר של $\ A$ הוא איבר של $\ B$, וכל איבר של $\ B$ הוא איבר של $\ A$.

אפשר גם לנסח בכתיב יותר פורמלי:

• הקבוצות $\ A$ ו-$\ B$ שוות אם ורק אם לכל x, ($x\in A$ אם ורק אם $x\in B$).

הסוגריים נועדו לשפר את הקריאות של המשפט, ולהבטיח שהוא חד-משמעי. זליגת סימונים ומושגים מתמטיים אל תוך השפה היא תופעה טבעית וכמעט הכרחית, משום שהמתמטיקה היא שפה, וככזו, היא מתארת גם את עצמה.

קבוצה שאין בה אף איבר נקראת "קבוצת הקרנפים המעופפים". סתם. היא נקראת "קבוצה ריקה". וכעת נוכיח את המשפט הראשון בקורס שלנו:

משפט. כל הקבוצות הריקות שוות. (במלים אחרות, אם $\ A$ ו-$\ B$ שתיהן קבוצות ריקות, אז הן שוות זו לזו).

הוכחה. לפי ההגדרה, כדי שהקבוצות תהיינה שוות, כל איבר של $\ A$ צריך להיות איבר של $\ B$, וכל איבר של $\ B$ צריך להיות איבר של $\ A$. אבל בשתי הקבוצות אין איברים, ולכן התנאי מתקיים באופן ריק.

השוויון הזה מצדיק הוספת הא הידיעה - יש קבוצה ריקה אחת, הנקראת הקבוצה הריקה.

את הקבוצה הריקה מסמנים בסימון מיוחד: $\emptyset$ ולפעמים גם $\ \{\}$. יש הבדל בין חדר ריק, לבין חדר שאין בו מאומה מלבד ארגז גדול וריק. באותו אופן יש הבדל בין הקבוצה הריקה (שבה יש אפס איברים), לבין הקבוצה $\ \{\emptyset \}$ שיש לה איבר אחד (הלוא הוא הקבוצה הריקה). אם בארגז שלנו מונחת קופסת נעליים ריקה, הוא אינו ריק; במקרה כזה אפשר לתאר את החדר כקבוצה שיש לה איבר אחד, שהוא הקבוצה שיש לה איבר אחד, שהוא הקבוצה הריקה. זוהי כמובן הקבוצה $\ \{\{\emptyset \}\}=\{\{\{\}\}\}$.

תרגיל. כמה איברים יש בכל אחת מהקבוצות $\ \{\emptyset \}$, $\ \{\{\emptyset \}\}$ ו-$\ \{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$? האם הן שוות או שונות? הוכיחו.

<< השיעור הקודם - מושג הקבוצה

דף הקורס - תורת הקבוצות

השיעור הבא - תת-קבוצות והכלה >>