Course:ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ/ਮੁਢਲੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ/ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਆਮ 3-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਵਜਾਏ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦਾ ਜਿਕਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਵਿਵਰਣ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:

ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ

ਖਾਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ (ਪੁੰਜ, ਇਨਰਸ਼ੀਆ ਦਾ ਗਤੀ-ਨਾਪ ਵਗੈਰਾਹ) ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਬਣੇ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਲਓ ਜੋ ਬਲ ਦੇ ਖਾਸ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਬਲ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਸੰਭਵ ਗਤੀਆਂ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀ ਹਰੇਕ ਗਤੀ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਦਾ ਨਾਮ ਦੇਈਏ। ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ (ਜੋੜ) ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਹਰੇਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਅਵਸਥਾ ਦੋ ਜਾਂ ਜਿਆਦਾ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜੋੜ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਜੋੜ ਕੇ ਉਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਮਿਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

ਅਜਿਹੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਪਸ਼ਟ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਅਵਸਥਾ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਲਈਏ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ $A$ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ: ਜਿਵੇਂ, ਇੱਕ ਖਾਸ ਊਰਜਾ, ਮੋਮੈਂਟਮ, ਅਤੇ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖਾਸ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਵੀ ਅਸੀਂ $A$ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਸਪੇਸ ਦੇ ਬਾਕੀ ਤੱਤ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਬਾਕੀ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਵੈਕਟਰ $A$ ਰੀਵਾਜ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$\displaystyle \vert A\rangle .$

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਪੇਸ $A$, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ $B$ ਅਤੇ $C$ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਪਰਸਪਰ-ਸਬੰਧ ਇਸ ਤਰਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

$\displaystyle \vert A\rangle =\vert B\rangle +\vert C\rangle ,$

ਜਿੱਥੇ $\vert B\rangle$ਅਵਸਥਾ $B$ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਤੇ ਇਵੇਂ ਹੀ |$C$‎〉ਵੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, $\vert B\rangle$ਅਵਸਥਾ ਜਰੂਰ ਹੀ $z$-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ ਦੇ ਸੰਚਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ $x$-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਸਤਹਿ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ |C〉‎ ਅਵਸਥਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਹੀ ਫੋਟੋਨ ਦੀ $y$-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਸਤਹਿ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੈ| ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੋਟੋਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਸਤਹਿ $x$ ਅਤੇ $y$ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਦੋਹਾਂ ਨਾਲ $45^{\circ }$ ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ (ਕਲਾਸੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ)। ਬਾਦ ਵਾਲੀ ਅਵਸਥਾ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ

$\vert B\rangle +\vert C\rangle$

ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀ ਅਵਸਥਾ ਬਣਾਉਣੀ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੀ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਸਤਹਿ $x$ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ ਇੱਕ ਮਨਚਾਹਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ $B$ ਅਤੇ $C$ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਕੂਲਿਤ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਲਾਸੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਦੇ ਸਮਾਨ, ਸਾਨੂੰ $B$ ਅਵਸਥਾ ਦਾ $\cos \alpha$ ਅਤੇ $C$ ਅਵਸਥਾ ਦਾ $\sin \alpha$ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਵੀਂ ਅਵਸਥਾ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇਸਤਰਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਹੋਵੇਗੀ:

$\displaystyle \cos \alpha \,\vert B\rangle +\sin \alpha \,\vert C\rangle .$

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਅਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ ਨਵੀਂ ਅਵਸਥਾ ਨਹੀਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋ, $y$ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ ਇਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਰ ਫੋਟੋਨ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ (ਜਿਸਦੀ ਉਹੀ ਊਰਜਾ ਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਹੋਵੇ) ਉਹੀ ਫੋਟੋਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ

$\displaystyle c_{1}\,\vert A\rangle +c_{2}\,\vert A\rangle =(c_{1}+c_{2})\,\vert A\rangle$

$\vert A\rangle$ ਅਵਸਥਾ ਵਾਲੀ ਅਵਸਥਾ ਹੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਅਪਣੇ ਮੁੱਲਾਂ, ਜਾਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੇ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ ਪਰੰਪਰਾਗਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲੋਂ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਅਸਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਵ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਾਲ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, $\vert A\rangle$ ਅਤੇ $-\vert A\rangle$ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹਨਾਂ ਕਥਨਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਸਾਵਧਾਨੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ $c_{1}+c_{2}=0$ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਜੋੜ ਦੀ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆ ਕੁੱਝ ਵੀ ਪੈਦਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਯਾਨਿ ਕਿ; ਕੋਈ ਅਵਸਥਾ ਨਹੀਂ ਬਣਦੀ। ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਗੈਰਹਾਜ਼ਰੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ |0‎〉ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਇਹ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ : ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ $\vert A\rangle$ ਲਈ ;

$\displaystyle \vert A\rangle +\vert \rangle =\vert A\rangle$

ਸੱਚਾਈ ਕਿ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਉਸੇ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅੰਤ ਨੂੰ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਕੁਆਂਟੀਜੇਸ਼ਨ (ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ: ਯਾਨਿ ਕਿ, ਸੱਚਾਈ ਕਿ ਪਦਾਰਥ ਹੋਰ ਨਾ ਤੋੜੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਫੋਟੌਨ, ਪ੍ਰਮਾਣੂਆਂ ਜਾਂ ਅਣੂਆਂ ਨਾਮ ਦੇ ਪੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ (ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ, ਇੱਕ ਪ੍ਰਮਾਣੂ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਅਣੂ ਵਗੈਰਾਹ ਵਗੈਰਾਹ) ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਕੁੱਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਦੇਖਦੇ। ਅਸੀਂ ਕਦੇ ਵੀ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਬਹੁਤਾਤ ਜਾਂ ਅਧੂਰਾ ਹਿੱਸਾ ਨਹੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ। ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਰੰਗ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਤਰੰਗ ਦਾ ਅਯਾਮ (ਐਂਪਲੀਟੀਊਡ) 0 ਤੋਂ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, ਜਾਂ ਲੰਬਾਈ ਤਰੰਗ ਦੇ ਅਯਾਮ(ਐਂਪਲੀਚਿਊਡ) ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖੇਗੀ, ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਤਰੰਗ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਆਵਰਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੋਵੇਗੀ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਲੱਗ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਵੱਖਰੀਆਂ ਤਰੰਗ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨਗੇ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ Cos α |B〉‎+ sin α |C‎〉 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਫੋਟੋਨ ਦੀ ਸਤਹਿ ਦੀ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਦੋ ਪਰਸਪਰ ਸਮਕੋਣ ਧਰੁਵਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖਿਕ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਧਰੁਵੀਕ੍ਰਿਤ ਫੋਟੋਨ ਅਵਸਥਾ ਬਣਾਉਣੀ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਠੀਕ ਹੈ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕੀ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਧਰੁਵੀ ਤਰੰਗ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਮਾਤਰਾ ਦੀਆਂ ਤਰੰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਮਕੋਣ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਤੇ ਸਤਿਹੀ ਤੌਰ ਤੇ ਧਰੁਵਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਫੇਜ਼ ਵਰਗ (phase quadrature) ਕੱਢਣ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੋਟੋਨ, ਇੱਕ $x$-ਦਿਸ਼ਾ ($B$-ਅਵਸਥਾ) ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੋਟੋਨ ਅਤੇ ਇੱਕ $y$-ਦਿਸ਼ਾ (C-ਅਵਸਥਾ) ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੋਟੋਨ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋਹੇ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਵਜ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿ ਅਵਸਥਾ $C$, ਅਵਸਥਾ $B$ ਤੋਂ ਸਮਕੋਣ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਤੇ ਹੋਵੇਗੀ। ਪੁਰਤਾਨ ਫਿਜਿਕਸ ਦੇ ਸਮਾਨ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ (ਜੋੜ) ਵਿੱਚ ਵਜ਼ਨ ਅਤੇ ਸਬੰਧਿਤ ਫੇਜ਼ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਲਈ, ਇੱਕ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਧਰੁਵੀਕ੍ਰਿਤ ਫੋਟੋਨ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ

$\displaystyle \vert B\rangle +{\rm {i}}\,\vert C\rangle .$

ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਮ ਦੀਰਘ-ਚੱਕਰੀ (elliptiCall$y$) ਧਰੁਵੀਕ੍ਰਿਤ ਫੋਟੋਨ

$\displaystyle c_{1}\,\vert B\rangle +c_{2}\,\vert C\rangle ,$

ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ $c_{1}$ ਅਤੇ $c_{2}$ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਜਰੂਰ ਹੀ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਇਸਨੇ ਸਹੀ ਤਰਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਸਪਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇ।

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੈੱਟ $\vert R\rangle$ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਕੈੱਟਾਂ $\vert A\rangle$ ਅਤੇ $\vert B\rangle$ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿ ;

$\displaystyle \vert R\rangle =c_{1}\,\vert A\rangle +c_{2}\,\vert B\rangle .$

ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\vert R\rangle$ ,

$\vert A\rangle$ ਅਤੇ

$\vert B\rangle$

ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਇਸਤੋ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਵਸਥਾ R, ਅਵਸਥਾਵਾਂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਜੋੜ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਵਸਥਾ R, ਅਵਸਥਾਵਾਂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕੋਈ ਵੀ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ (ਜਾਂ ਅਵਸਥਾ) ਜੋ ਕੁੱਝ ਹੋਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ, ਉਹਨਾਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇਗਾ। ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਜਾਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਆਤਮ-ਨਿਰਭਰ ਕਹੀਆਂ ਜਾਣਗੀਆਂ ਜੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋਰਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਜੋੜ ਕੇ ਨਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੋਵੇ।

ਇੱਕ ਪਰੰਪਰਾਗਤ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦਾ ਅਯਾਮੀ-ਕਰਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਅਯਾਮੀਕਰਨ ਇਸਦੇ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਨੰਬਰਾਂ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, $z$-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸੰਚਾਰਿਤ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ ਦੀਆਂ ਸੰਭਵ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ 2-ਅਯਾਮੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ($x$ ਅਤੇ $y$ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਤਿਹੀ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਦੋ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਵੈਕਟਰ)। ਕੁੱਝ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਤ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ, ਇੱਕ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀਆਂ ਸਪਿਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ)। ਜੇਕਰ N ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੋਣ, ਫੇਰ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ N-ਅਯਾਮੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੁੱਝ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀਆਂ ਗਿਣੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਨੰਤ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ, ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਡੂੰਘੇ 1-ਅਯਾਮੀ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਖੂਹ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਣ)। ਅਜਿਹੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸਦੇ ਅਯਾਮ ਅਨੰਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਵਰਤਾਓ ਨਾਲ ਨਿਬਟੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਕੁੱਝ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀਆਂ ਨਾ ਗਿਣਨ਼ ਯੋਗ ਅਨੰਤ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਮੁਕਤ ਕਣ)। ਅਜਿਹੇ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਨਾ ਗਿਣਨ਼ ਯੋਗ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਸੀਮਤ, ਜਾਂ ਗਿਣਨ਼ ਯੋਗ ਅਨੰਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਪੇਸਾਂ ਤੋਂ ਜਰਾ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਰਤਾਓ ਮੰਗਦੀਆਂ ਹਨ।

ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਆਮ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਇੱਕ (ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ) ਸੀਮਤ ਅਯਾਮਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਜਿਹੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੇ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਹੈ।