Elements geomètrics I
La geometria fou unes de les assignatures més valorades a l'antiguitat i va ser la precursora del raonament matemàtic general.
Es veu que el filòsof grec Plató va arribar a dir a la seva acadèmia: No entri ningú que no sàpiga geometria
Els geòmetres van fer ràpidament una mena de llenguatge per facilitar les recerques de noves propietats que mica en mica enriquia tot el coneixement matemàtic i filosòfic.
Elements geomètrics
editEl llibre Els elements signat amb el nom de Euclides l'any 300 a.C. va ser una de les obres més completes que deixen bocabadats encara els investigadors.
Elements simples
editEls elements de la geometria conegudes com formes geomètriques són la base de tot anàlisi dins la geometria.
Veiem els principals elements de geometria plana:
El punt
editEl punt és l'element que no pot ser dividit en altres parts o elements. És important saber que qualsevol altre element està fet de punts.
Notació habitual: Per posar noms als punts es fa amb una lletra majúscula: A, B, C, D, E, F, G, ...
La recta
editLa recta és la línia recta que s'estén indefinidament en dos sentits i per tant no té extrems.
Notació habitual: Per posar noms a les rectes es fa amb una lletra minúscula: a, b, c, d, e, f, g, ...
La semirecta
editLa semirecta és cada una de les parts en que un punt divideix una recta i per tant té un extrem que és per on s'ha dividit la recta.
Hereta el nom de les rectes amb alguna indicació extra.
El segment
editEl segment és la porció de recta situada entre dos punts donats.
L'angle
editPer mesurar un angle anomenat α necessitem un punt de base d'on surten dues rectes de referencia que mesurin la separació o desviació entre elles. Per mesurar aquest angle podem utilitzar el transportador que ens dirà el seu valor.
Fixem-nos com s'ha detallat un angle al dibuix, el punt A fa de punt base, la primera recta passa pel punt A i C, i la segona passa pel punt A i B.
A := Vèrtex.
α := Mesura del angle en graus sexagesimals.[1]
Semirecta AC i semirecta AB := Costats del angle.
Tipus d'angle segons la seva mida
editExtracte de l'article angle en wikipedia.
Tipus | Descripció |
---|---|
Angle nul | L'angle nul és aquell que mesura 0°.
Els dos costats d'un angle nul són paral.lels i per tant són indistingibles. |
Angle agut | L'angle agut està format per dues semirectes amb una mesura major de 0° i menor de 90°.
|
Angle recte | L'angle recte és aquell que mesura 90°.
Els dos costats d'un angle recte són perpendiculars. |
Angle obtús | Un angle obtús té una mida major de 90° i menor de 180°.
|
Angle pla o estès |
L'angle pla és l'angle limitat per dues semirectes oposades. Mesura 180°.
|
Angle complet | Un angle complet té una mida de 360°.
Els dos costats d'un angle complet tornen a ser paral.lels i per tant són indistingibles. |
Posicions relatives de les rectes
editQuan parlem de posicions relatives fem referència al estudi de totes les posibles formes de situar dos rectes sobre el pla, és a dir, sobre un full.
Rectes secants
editQualsevol recta que talla algo s'en diu recta secant.
Rectes perpendiculars
editDe les rectes secants que descriuen l'angle recte s'en diuen rectes perpendiculars.
Rectes paral·leles
editEs diu que dues rectes són paral·leles quan no es tallen mai. Aquest fet no ens serveix de gaire, per tant farem servir un altre explicació:
Dues rectes són paral·leles quan en tallar-les per un altre descriuen angles corresponent iguals, es a dir, que els angles amb la mateixa orientació siguin iguals.
Exemple relatiu a la imatge anterior:
1) Si α = 30° i β = 40° llavors les rectes a i c no són paral·leles.
2) Si α = 41° i β = 41° llavors segur que a i c són paral·leles.
Rectes coincidents
editLes rectes coincidents són les rectes que per alguna circumstància estan situades una al damunt de l'altre i per tant són indistingibles.
El transportador
editEl transportador és l'element que s'utilitza per mesurar o construir angles. Vegeu un transportador a la dreta.
Notació complexa dels graus sexagesimals i la notació decimal del grau:
El sistema
Sumes i restes d'angles
editPer fer sumes seguirem el mateix mètode que aquest vídeo tutorial.
Forma decimal dels graus
editPer fer conversió de segons a graus-minuts-segons tenim aquest vídeo tutorial.
Exercicis del tema
editFull 1 d'exercicis:
Solució: |
Només cal fixar-se en els angles que es situen mirant cap a un mateix lloc, anomenats angles corresponents, si són iguals ja hem acabat per que segur que les rectes són paral·leles.
La forma a lo bèstia seria trobar tots els angles i veure si un parell d'angles corresponets són iguals, en aquest mètode hi ha perill de fer errades. a) Les rectes a i c són paral·leles perquè els seus angles corresponents són de 90° tots dos. b) Les rectes a i c són paral·leles perquè si busquem l'angle oposat a 80° també es 80° i per tant veiem que els angles corresponents són iguals. c) Les rectes b i a NO són paral·leles perquè encara que tinguin el mateix color, els angles corresponents són diferents d) Les rectes a i c són paral·leles perquè l'angle consecutiu a 100° (l'angle del costat dret) és 80°, per tant els angles corresponents són iguals. e) Les rectes a i c són paral·leles perquè els seus angles corresponents són de 110° tots dos. f) Les rectes a i b NO són paral·leles perquè per que els angles corresponents no són iguals, g) Les rectes a i b són paral·leles perquè l'angle consecutiu a 87° (l'angle per per sota) és 93°, per tant és igual a l'altre angle de 93°. h) Les rectes a i c NO són paral·leles perquè si busquem angles corresponents, veurem que no són iguals, 110° i 70°. Si mirem angles conjugats i) Les rectes a i c són paral·leles ja que l'angle entre a i c és i si els sumem dona 180°. j) Les rectes a i b NO són paral·leles fins que no ens diguin almenys un angle entre c i b. (La millor resposta es "no se sap"). k) Només cal pensar en parelles de rectes, per descartar-les: d i b NO són paral·leles per tenir angles corresponents diferents, així a i c NO ho són per la mateixa raó. L) Aquesta és la pregunta del deu: si fem una paral·lela a la recta a que pasi pel vèrtex del angle recte veurem que buscant angles apareixen per duplicat tots els corresponets iguals. De fet els dos triangles petits tenen els mateixos angles que en sumar-los ha de ser 180°. 2) Càlcul:
3) Qüestion:
4) GPS:
|
Full 2 d'exercicis:
Solució: |
1) Deducció de la mesura dels angles: Recordeu sempre que una recta horitzontal porta un angle de 180° amagat i un quadrat indica un angle de 90°
2) Lo mateix que que abans, cal trobar α.
3) Angles sobre tangents a rectes paral·leles.
|
Plànol
editAnotacions
edit- ↑ És habitual posar noms grecs als angles com α, β, γ, δ, ε, θ ... de vegades es posa o també