Equacions Bat

Introducció

Orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes següents d'inequacions a programació, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització.

Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria.

Equacions per tipus

Equacions irracionals

Les equacions irracionals són les que tenen la incògnita x dins l'arrel, al radicand.

${\sqrt {x+1}}=x$

Exemples a estudiar:

1) ${\sqrt {x^{2}+1}}=2x$

Resolució i comprovació

$\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)^{2}=(2x)^{2}\;$ $\Rightarrow \;x^{2}+1=2^{2}x^{2}\;$ $\Rightarrow \;1=4x^{2}-x^{2}\;$ $\Rightarrow \;1=3x^{2}\;$ $\Rightarrow \;{\frac {1}{3}}=x^{2}\;$

$x_{1}={\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}\;$ $\Rightarrow \;{\text{¿}}{\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{2}+1}}=2\left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)?\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {\left({\frac {3}{9}}\right)+1}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {\frac {12}{9}}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\;$ sí és correcte.

$x_{2}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}=-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\;$ $\Rightarrow \;{\text{¿}}{\sqrt {\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{2}+1}}=2\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)?\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {\left({\frac {3}{9}}\right)+1}}=-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\;$ no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu.

2) ${\sqrt {x-1}}-{\sqrt {x+2}}=-1$

Resolució i comprovació

$\left({\sqrt {x-1}}-{\sqrt {x+2}}\right)^{2}=(-1)^{2}\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {x-1}}^{2}-2{\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+2}}+{\sqrt {x+2}}^{2}=1\;$ $\Rightarrow \;x-1-2{\sqrt {(x-1)(x+2)}}+x+2=1\;$ $\Rightarrow \;-2{\sqrt {(x-1)(x+2)}}=1-x-x+1-2\;$ $\Rightarrow \;-2{\sqrt {(x-1)(x+2)}}=-2x\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {(x-1)(x+2)}}=x\;$ $\Rightarrow \;{\sqrt {(x-1)(x+2)}}^{2}=x^{2}\;$ $\Rightarrow \;(x-1)(x+2)=x^{2}\;$ $\Rightarrow \;x^{2}+x-2=x^{2}\;$ $\Rightarrow \;{\cancel {x^{2}}}+x-2={\cancel {x^{2}}}\;$ $\Rightarrow \;x-2=0\;$ $\Rightarrow \;x=2\;$

${\text{¿}}{\sqrt {2-1}}-{\sqrt {2+2}}=-1?\;$ $\Rightarrow \;1-2=-1\;$ $\Rightarrow \;-1=-1\;$ sí és correcte.

3) ${\sqrt {x}}+{\sqrt {x+3}}={\sqrt {x+8}}$

Resolució i comprovació

$\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x+3}}\right)^{2}={\sqrt {x+8}}^{2}\;$ $\Rightarrow \;x+2{\sqrt {x}}{\sqrt {x+3}}+x+3=x+8\;$ $\Rightarrow \;2{\sqrt {x(x+3)}}=x+8-x-x-3\;$ $\Rightarrow \;2{\sqrt {x^{2}+3x}}=5-x\;$ $\Rightarrow \;\left(2{\sqrt {x^{2}+3x}}\right)^{2}=(5-x)^{2}\;$ $\Rightarrow \;2^{2}{\sqrt {x^{2}+3x}}^{2}=25-10x+x^{2}\;$ $\Rightarrow \;4(x^{2}+3x)=25-10x+x^{2}\;$ $\Rightarrow \;4x^{2}+12x=25-10x+x^{2}\;$ $\Rightarrow \;4x^{2}+12x-25+10x-x^{2}=0\;$ $\Rightarrow \;3x^{2}+22x-25=0\;$

$x_{1}=1\;$ $\Rightarrow \;{\text{¿}}{\sqrt {1}}+{\sqrt {1+3}}={\sqrt {1+8}}?\;$ $\Rightarrow \;1+2=3\;$ $\Rightarrow \;3=3\;$ sí és correcte.

$x_{2}=-{\frac {25}{3}}\;$ $\Rightarrow \;{\text{¿}}{\sqrt {-{\frac {25}{3}}}}?\;$ no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu.

4) ${\sqrt {x+1}}+{\sqrt {1-x}}={\sqrt {2x^{2}+1}}$

Resolució i comprovació

$\left({\sqrt {x+1}}+{\sqrt {1-x}}\;\right)^{2}={\sqrt {2x^{2}+1}}^{\;2}\;$ $\Rightarrow \;x+1+2{\sqrt {(x+1)(1-x)}}+1-x=2x^{2}+1\;$ $\Rightarrow \;2{\sqrt {(1+x)(1-x)}}=2x^{2}-1\;$ $\Rightarrow \;\left(2{\sqrt {1-x^{2})}}\right)^{2}=\left((2x^{2}-1\right)^{2}\;$ $\Rightarrow \;4(1-x^{2})=4x^{4}-4x^{2}+1\;$ $\Rightarrow \;4-{\cancel {4x^{2}}}=4x^{4}-{\cancel {4x^{2}}}+1\;$ $\Rightarrow \;4=4x^{4}+1\;$ $\Rightarrow \;3=4x^{4}\;$ $\Rightarrow \;{\frac {3}{4}}=x^{4}\;$ $\Rightarrow \;\pm {\sqrt[{4}]{\frac {3}{4}}}=x\;$

En aquest cas fem la comprovació amb $x=\pm 0,930\,605$ i surt:

$x_{1}=0,930605\;$ $\Rightarrow 1,652\,892=1,652\,892$ sí és correcte.

$x_{2}=-0,930605\;$ $\Rightarrow 1,652\,892=1,652\,892$ sí és correcte.