Exercici tècnic de decimals

Aquesta secció treballa els decimals així com les diverses connexions amb altres conceptes tècnics dins la programació.

L'objectiu és proveir d'un programa que permet exercitar el concepte de mètrica a diferents nivells de precisió així com la explicació de com i per què funciona amb la possibilitat de poder introduir canvis o millores que apareguin.

Teoria

Eines utilitzades pel desenvolupament del programa:

1) Per representar l'interval del tipus $[\,a\,,\,b\,]$ sobre una pantalla horitzontalment suposant que l'ample és de 1000 píxels i per tant un interval del tipus $[\,1\,,\,1000\,]$ necessitem una funció de semblança entre aquests dos intervals.

La funció $f$ se'n diu afí i és la següent:

${\begin{array}{rrcl}f:&[\,a\,,\,b\,]&\longrightarrow &[\,1\,,\,1000\,]\\&x&\mapsto &(x-a)\cdot {\frac {999}{b-a}}+1\\&a&\mapsto &1\\&b&\mapsto &1000\end{array}}$

Desglossament de la funció afí com a composició de tres funcions més simples: Es requereix una funció bijectiva $g(x)$ que traslladi l'interval $[\,a\,,\,b\,]$ a un interval que comenci per zero com $[\,0\,,\,c\,],$ és a dir, volem un trasllat com $g(x)=x-a.$ $g:[\,a\,,\,b\,]\longrightarrow [\,0\,,\,c\,]$ on $c=b-a.$ Es requereix una funció lineal de proporcionalitat directa $h(x)$ que converteixi l'interval $[\,0\,,\,c\,]$ a l'interval $[\,0\,,\,999\,]$ on $999=1000-1$ corresponent a mil píxels, és a dir, $h(x)=x\cdot {\frac {999}{c}}$ ja que la raó de semblança és $\alpha ={\frac {999}{c}}$ $h:[\,0\,,\,c\,]\longrightarrow [\,0\,,\,999\,]$ Es requereix una funció bijectiva $i(x)$ que traslladi l'interval $[\,0\,,\,999\,]$ a l'interval $[\,1\,,\,1000\,]$ i amb el trasllat $i(x)=x+1$ és suficient. $i:[\,0\,,\,999\,]\longrightarrow [\,1\,,\,1000\,]$ En resum tenim que $f(x)=i{\Big (}\,h{\big (}\,g(x)\,{\big )}\,{\Big )}$

2) En cursos superiors es veu que $f$ és composició de funcions isomètriques i proporcionalitat directa, es a dir que dues mesures iguals dins $[\,a\,,\,b\,]$ també són iguals dins de $[\,1\,,\,1000\,].$

Cal doncs detallar la graduació del regla primer sobre els píxels que ens diran la graduació mínima que pot visualitzar o acceptar aquesta mena de projecció i després traslladar-la a $[\,a\,,\,b\,]$ per conèixer el seu valor o la seva densitat.

La densitat màxima $\delta$ sobre els píxels és la distància entre línies negres de la representació d'una línia negra, una línia blanca i novament negra en cicle. La distància entre línies negres, de centre a centre dels seus píxels negres, és de dos píxels, per tant és aquesta mida la mínima sobre $[\,1\,,\,1000\,]$ és:

$\delta \geq 2$.

Dividint per la raó de proporció $\alpha$ obtenim la mesura mínima, M, sobre l'interval $[\,a\,,\,b\,]:$

$M\geq {\frac {2}{\alpha }}.$

Ara només cal saber quin tipus de mida pot acceptar, si és $10^{4},$ $10^{2},$ $10^{1},$ $10^{0},$ $10^{-1},$ etc. Es considera que

$10^{x}\geq {\frac {2}{\alpha }}$ on $x\in \mathbb {N}$

Apliquem logaritme en base 10 per saber-ho directament:

$x\geq {\frac {\log {\frac {2}{\alpha }}}{\log 10}}$

Finalitza així el càlcul de la graduació sobre $[\,a\,,\,b\,]$ que amb un valor enter $x$ per sobre del que dona els càlculs donarà $10^{x}$.

Programa exercici

Es dona el codi necessari per fer l'arxiu SVG autònom. El programa demana inicialitzar amb un interrogant (?), en clicar l'interrogant demanarà localitzar un valor; només s'ha de clicar sobre la solució i veure si diu SÍ(sí que s'ha encertat) o si diu NO(que no s'ha encertat). Es pot clicar que mostri la solució mentre passegem el punter per la pantalla on afegeix altres informacions de sondeig:

Utilitzant "l'editor Llibreta", "editor de text" o bé "aquest editor text", deseu sempre l'arxiu amb 3 condicions: Nom: exerciciDecimal.svg Tipus: tots els arxius o equivalent *.* Codificació: UTF-8. Clica veure codi i enganxeu tot el codi que apareix al requadre dins l'arxiu que es crea.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2000" height="4000"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var Root=document.documentElement; var salto=90; var ha=0.95949,hb=0.959632,hu,hu1,hu2,hd,va,vb;//intervalos:Dom e Im.(u=unidad base) var wiH=1000,dmarcas=2; //valor pantalla y separaciOn aceptable var ai,aj,ak,punt,marcas,pat,ran,nrandom;//auxiliares function programa(){ var i,j,k; marcas=document.getElementById("reglado"); hu=hb-ha;//longitud intervalo hd=wiH/hu;//razOn de proporciOn hu1=Math.ceil( Math.log(dmarcas/hd)/Math.log(10) );//nivel de longitud en base 10. hu1=Math.pow(10,hu1);//longitud de graduaciOn punt=document.getElementById("coor"); ran=document.getElementById("txtRec"); nrandom=red(ha+hu*Math.random(),hu1); ran.firstChild.nodeValue="Localitza: "+nrandom.toPrecision(6);//Presentador: esconde decimales internamente. for(pat="",i=red(ha,hu1)-ha;i<=hu;i=i+hu1){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+17; } for(i=red(ha,hu1*5)-ha;i<=hu;i=i+hu1*5){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+20; } for(i=red(ha,hu1*10)-ha;i<=hu;i=i+hu1*10){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+30; } for(i=red(ha,hu1*50)-ha;i<=hu;i=i+hu1*50){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+40; j=i+ha; escriuA(j.toPrecision(6),i*hd,150); } for(i=red(ha,hu1*100)-ha;i<=hu;i=i+hu1*100){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+50; } //marcas.setAttribute("stroke-width",1); marcas.setAttribute("d",pat); document.documentElement.setAttribute("onmousemove","dardo(evt)"); } function dardo(evt){//indica donde estA el ratOn. ai=evt.pageX; hu2=Math.ceil( Math.log(hu/wiH)/Math.log(10) ); hu2=Math.pow(10,hu2); aj=redo(ha+ai/hd,hu2*.5);//paso a medidas exactas. if(Math.abs(aj-nrandom)<hu1*.7){ak="SI";} else{ak="No";} punt.firstChild.nodeValue=(aj.toPrecision(6))+"|px="+ai+"|Sol="+ak; punt.setAttributeNS(null,"x",(100+ai*.8)); } function sol(){ escriu( ak ); } function ver(){ var i=punt.getAttribute("y"); if(i==62){ punt.setAttributeNS(null,"y",-62); } else{ punt.setAttributeNS(null,"y",62); } } function red(deci,mult){ //aproxima super. var ee; ee=Math.ceil(deci/mult); return ee*mult; } function redo(deci,mult){ //aproxima redondeo. var ee; ee=Math.round(deci/mult); return ee*mult; } function demanaUnNombre(t1,t2){return parseInt(prompt(t1,t2));} function demanaUnText(t1,t2){return prompt(t1,t2);} function escriu(pat){ T=document.createElementNS(xmlns,"text"); T.setAttributeNS(null,"x",30); T.setAttributeNS(null,"y",70+salto);salto=salto+30; T.setAttributeNS(null,"font-size","20"); Msg=document.createTextNode(pat); T.appendChild(Msg); Root.appendChild(T); } function escriuA(pat,x,y){ T=document.createElementNS(xmlns,"text"); T.setAttributeNS(null,"x",x); T.setAttributeNS(null,"y",y); T.setAttributeNS(null,"text-anchor","middle"); T.setAttributeNS(null,"font-size","20"); Msg=document.createTextNode(pat); T.appendChild(Msg); Root.appendChild(T); } ]]></script> <path id="reglado" d="m" fill="none" stroke="#000000" stroke-width="1"/> <g onclick="programa()"> <rect x="10" y="10" width="200" fill="#edd" height="30" stroke="black"/> <text id="txtRec" x="110" y="32" font-size="20" text-anchor="middle">?</text> </g> <g onclick="ver()"> <rect x="220" y="10" width="80" fill="#feb753" height="30" stroke="black"/> <text id="txtRec" x="260" y="32" font-size="20" text-anchor="middle">Solución</text> </g> <text id="coor" x="380" y="-62" font-size="20" text-anchor="middle">.</text> <rect onclick="sol()" x="0" y="60" width="1500" fill="#0ff" height="80" stroke="none" opacity="0"/> </svg>

Paraules clau

• Aplicació matemàtica.

• Bijectiva.

• Funció.

• Isomètrica.

• Semblança.

• Projecció.

• Proporcionalitat directa.

• Raó de proporcionalitat.

• Trasllat.

• Interval.