Fitxa dels nombres decimals I

Aquesta secció presenta els nombres decimals aplicats a la mesura.

Presentació dels nombres decimals

Els nombres decimals volen introduir valors més petits que les unitats, per fer-ho utilitzen la coma decimal, exemple:

$1\;metre+{\frac {3}{10}}\;de\;metre=1,3\;metres$

$1\;metre+{\frac {7}{100}}\;de\;metre=1,07\;metres$

$1\;metre+{\frac {2}{1000}}\;de\;metre=1,002\;metres$

I així successivament.

• Mentre més zeros té el divisor, més petit és el valor que suma.

• Mentre més petit és el valor que suma, més llocs decimals es mou cap a la dreta.

Penseu que aquest sistema ens diu fins al més petit dels canvis d'una mesura que volem fer.

Per fer la construcció dels nombres decimals més en general amb valors de totes les mides veiem l'exemple següent:

$248+{\frac {3}{10}}+{\frac {7}{100}}+{\frac {4}{1000}}+{\frac {5}{10000}}=248,3745$

Notació

A tot nombre decimal podem distingir dos parts:

10283,12345
Part entera	Part decimal

Ordenació

Els nombres decimals es poden situar a la recta numèrica com si es tractessin de fraccions:

En aquesta imatge podem trobar les dècimes que hi ha entre el número 3 i el 4, però, si ens fixem podem veure dècimes de dècimes, es a dir, centèsimes. Pensem en el 3,4 i el 3,04.

Per comparar nombres decimals semblants s'ha de fer comparant xifres d'esquerra a dreta fins que aparegui un nombre diferent.

Exemple:

1) En comparar 222,22322 i 222,22222 veiem que d'esquerra a dreta totes les xifres són iguals excepte quan topem amb un 3 a les mil·lèsimes, llavors veiem que la mil·lèsima 3 és més gran que la mil·lèsima 2 de la segona xifra, podem dir llavors que:

$222,22322>222,22222$

2) Comparem ara 4,92845 i 4,92855 veiem que a les deumil·lèsimes són diferents per tant direm que:

$4,92845<4,92855$

3) Si comparem 10,00001 amb 10,0001 clarament en les deumil·lèsimes apareix un u al segon terme que el fa més gran, llavors:

$10,00001<10,0001$

Exercicis:

1) Compareu els nombres següents:

a) 0,0000111 i 0,000002

b) 0,999999 i 0,99998

c) 0,1221 i 0,11221

2) Situeu els nombres 3,1 , 3,11 , 3,01 , 3,5 , 3,9 , 3,99 i 3,09 sobre:

El regle.

Sumes i restes

Per efectuar sumes o restes, només cal situar les comes decimals un a sobre l'altre, dit d'un altra forma, situem la part sencera com sempre i tot seguit afegim la part decimal si es que en té.

${\begin{array}{c}2005,01\\+\,\,\,\,25,091\\\hline \,\,2030,101\end{array}}$ ${\begin{array}{c}\,2346,234\\-\,213,133\\\hline \,\,\,2133,101\end{array}}$

Si en algun moment falten xifres decimals per fer operacions, sempre podem afegir zeros. Un cop arreglat, fem la resta de nombres com sempre i finalment penseu en que al resultat les comes estan alineades.

Exercicis

1) 55,5555-32,123 =

2) 100-0,0001 =

Multiplicacions

Per fer multiplicacions també es fa com sempre, inclús no fa falta alinear però feu-ho sempre per si de cas, multipliquem i finalment penseu en que el resultat té tantes xifres decimals com xifres decimals en tenen els dos primers nombres 'ajuntats' o 'conjuntament.

${\begin{array}{rl}3413,1201&\longleftarrow 4\,xifres\,\,decimals\\\times \,\,20,01&\longleftarrow 2\,xifres\,\,decimals\\\hline 34\,\,131\,201\\000\,\,000\,00\,\,\,\\0000\,\,000\,0\,\,\,\,\,\,\\68262\,\,402\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\hline 68296,533\,201&\longleftarrow 4+2\,xifres\,\,decimals\\\end{array}}$

Exercicis:

1) $1000\times 0,0001=$

2) $0,0231\times 10000=$

3) $0,0026\times 0,00451=$

Divisions

En les divisions només cal posar la coma decimal en el moment que es baixen xifres decimals:

${\begin{array}{rl}1\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&{\begin{array}{|c}7\,\,\,\,\,\,\,\\\hline \end{array}}\\40\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&1,571428\\50\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&\\10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&\\30\,\,\,\,\,\,\,\,&\\20\,\,\,\,&\\60&\\4&\\\end{array}}$

Unitats de mesura

En aquesta secció es treballaran els principals múltiples i submúltiples de les unitats en general.

El metre

El metre és la unitat estàndard per mesurar les longituds. Cal memoritzar la següent taula:

km = kilòmetre. hm = hectòmetre. dam = decàmetre. m = metre. dm = decímetre. cm = centímetre. mm = mil·límetre.

Per utilitzar aquesta taula només cal pensar en els salts de la coma decimal per anar d'una unitat a un altra.

Exemples:

1) 1 km = ... m. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 3 llocs per anar de km a m, per tant la coma decimal s'ha de moure cap a la dreta, en la mateixa direcció que a la taula, fent que 1,km = 1000,m que ja coneixíem. Observem que quan no hi ha xifres afegim zeros sense cap problema.

2) 1 m = ... mm. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 3 llocs per anar de m a mm, per tant la coma decimal s'ha de moure cap a la dreta, en la mateixa direcció que a la taula, fent que 1,m = 1000,mm es a dir 1000 mm.

3) 13 000 mm. Per anar de mm a dam hem de moure la coma decimal cap a l'esquerra, en la mateixa direcció que a la taula donant 13 000 mm = 1,3 000 dam = 1,3 dam.

El gram i la tona

El gram és la unitat de massa dels cossos, en direm pes amb el ben entès que ens referim a la massa mesurada a la terra.

kg = kilogram. hg = hectogram. dag = decagram. g = gram. dg = decigram. cg = centigram. mg = mil·ligram.

Els grams es comporten igual que els metres, per tant només cal repetir el procediment de canvi d'unitats.

Exercicis:

1) Conversió d'unitats:

a) 26 g = ...... mg

b) 3,1 g = ...... kg

c) 120 cg = ...... dag

d) 0,024 hg = ...... cg

El metre quadrat i l'àrea

El metre quadrat és la unitat estàndard per mesurar les superfícies, es a dir, espais plans. Cal recordar que es la mateixa taula però amb un expontent 2, que indica que una superfície està mesurada amb quadradets:

$km^{2}$ = kilòmetre quadrat. $hm^{2}$ = hectòmetre quadrat. $dam^{2}$ = decàmetre quadrat. $m^{2}$ = metre quadrat. $dm^{2}$ = decímetre quadrat. $cm^{2}$ = centímetre quadrat. $mm^{2}$ = mil·límetre quadrat.

Per utilitzar aquesta taula només cal pensar en multiplicar per dos els salts de la coma decimal per anar d'una unitat a un altra.

Exemples:

1) 3 $km^{2}$ = ... $m^{2}$. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 3 llocs per anar de km quadrat a m quadrat, per tant la coma decimal s'ha de moure cap a la dreta, en la mateixa direcció que a la taula i multiplicat per l'exponent 2, fent que 3,km = 3 000 000, m. Observem que quan no hi ha xifres afegim zeros sense cap problema.

2) 1 $m^{2}$ = ... $cm^{2}$. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 2 llocs per anar de m quadrat a cm quadrat, per tant la coma decimal s'ha de moure cap a la dreta, en la mateixa direcció que a la taula i multiplicat per l'exponent 2, fent que 1,m = 10 000, cm.

3) 2,001 $mm^{2}$ = ... $hm^{2}$. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 5 llocs per anar de mm quadrat a hm quadrat, per tant la coma decimal s'ha de moure cap a l'esquerra, en la mateixa direcció que a la taula i multiplicat per l'exponent 2, fent que 2,001 km = 0,000 000 000 200 1 m.

El metre cúbic i el litre

El metre cúbic s'utilitza per mesurar el volum dels cossos, es a dir, l'espai que ocupa els cossos sigui quina sigui la seva grandària.

$km^{3}$ = kilòmetre cúbic. $hm^{3}$ = hectòmetre cúbic. $dam^{3}$ = decàmetre cúbic. $m^{3}$ = metre cúbic. $dm^{3}$ = decímetre cúbic. $cm^{3}$ = centímetre cúbic. $mm^{3}$ = mil·límetre cúbic.

$kl$ = kilolitre. $hl$ = hectolitre. $dal$ = decalitre. $l$ = litre. $dl$ = decilitre. $cl$ = centilitre. $ml$ = mil·lilitre.

Sistema general de prefixes per qualsevol unitat

Taula dels múltiples i submúltiples de les unitats de mesura, no s'ha de memoritzar tota la taula però si saber-la utilitzar.

10n	Prefixe	Símbol	Escala curta	Escala llarga	Valor decimal			Assignació
1024	yotta	Y-	Septillón	Cuatrillón	1 000 000 000 000 000 000 000 000			1991
1021	zetta	Z-	Sextillón	Mil trillones	1 000 000 000 000 000 000 000			1991
1018	exa	E-	Quintillón	Trillón	1 000 000 000 000 000 000			1975
1015	peta	P-	Cuatrillón	Mil billones	1 000 000 000 000 000			1975
1012	tera	T-	Trillón	Billón	1 000 000 000 000			1960
109	giga	G-	Billón	Mil millones / Millardo	1 000 000 000			1960
106	mega	M-	Millón		1 000 000			1960
103	kilo	k-	Mil / Millar		1 000			1795
102	hecto	h-	Cien / Centena		100			1795
101	deca	da-	Diez / Decena		10			1795
100	Sin prefijo		Uno / Unidad		1
10−1	deci	d-	Décimo			0.1		1795
10−2	centi	c-	Centésimo			0.01		1795
10−3	mili	m-	Milésimo			0.001		1795
10−6	micro	µ-	Millonésimo			0.000 001		1960
10−9	nano	n-	Billonésimo	Milmillonésimo		0.000 000 001		1960
10−12	pico	p-	Trillonésimo	Billonésimo		0.000 000 000 001		1960
10−15	femto	f-	Cuatrillonésimo	Milbillonésimo		0.000 000 000 000 001		1964
10−18	atto	a-	Quintillonésimo	Trillonésimo		0.000 000 000 000 000 001		1964
10−21	zepto	z-	Sextillonésimo	Miltrillonésimo		0.000 000 000 000 000 000 001		1991
10−24	yocto	y-	Septillonésimo	Cuatrillonésimo		0.000 000 000 000 000 000 000 001		1991

Complements del metre

Quan es parla de mides més petites que el metre s'utilitzen els prefixes per indicar-ho sense tants zeros, per exemple:

Plànol

Resta de seccions de primer d'ESO.