Fitxa dels nombres enters I

En aquesta secció veurem la utilitat dels nombres enters i aprendrem a usar la seva notació correctament.

Presentació

Exemples previs de nombres enters al nostre entorn:

Mesura de la temperatura: el termòmetre i les línies isotèrmiques:

Càlcul dels anys:

Fusos horaris:

Mesura de l'alçaria respecte del nivell del mar:

L'ascensor: panell d'accés al aparcament.

Índex borsaris: Imatge fixa(no actualitzada).

Bolsa	Valor	Variación	Variación(%)
IBEX 35	8.924,00	-117,10	-1,29%
Futuros S&P 500	2.920,88	-16,62	-0,57%
Futuros Nasdaq	7.697,25	-42,75	-0,55%
Dow 30	26.478,02	-95,70	-0,36%
DAX	11.967,90	-129,53	-1,07%
Índice dólar	98,595	-0,070	-0,07%
Índice euro	95,89	+0,16	+0,16%
Futuros Bitcoin	8.190,0	-65,0	-0,79%

Saldo bancari.

Per exemple nombres positius per un saldo i nombres negatius per indicar deutes.

El contrari d'afegir o +1 és extreure o -1.

El contrari de sumar o +1 és restar o -1.

El contrari d'avançar o +1 és retrocedir o -1.

I així successivament.

Ordenació

Per construcció de la recta numèrica només cal dir que sempre els de la dreta són més grans que els de l'esquerra. Concretament:

Donat un número qualsevol, tot número situat a l'esquerra és més petit i tot número situat a la dreta és més gran.

Símbols per expressar o indicar l'ordre entre els nombres i particularment els enters:

El símbol següent entre les lletres $a>b$ indica que:

a és més gran que b o

b és més petit que a.

El símbol següent entre les lletres $a<b$ indica que:

a és més petit que b o

b és més gran que a.

El símbol següent entre les lletres $a\geqslant b$ indica que:

a és més gran que b i inclús podria ser igual o

b és més petit que a i inclús podria ser igual.

El símbol següent entre les lletres $a\leqslant b$ indica que:

a és més petit que b i inclús podria ser igual o

b és més gran que a i inclús podria ser igual.

Sumes i restes

La operació suma i resta com a notació signe usant la recta numèrica:

Exemple

a) +1+3-2+5-4=+3=3

b) +5-2-2-2=-1

c) -3+6-7+8-9=-5

d) -10+3+3+3+3=+2=2

e) -3-4-5-6-7=-25

f) -1+1-1+1-1+1-1+1=+0=0

g) -9+8+8-9=-2

h) -2+3+3-2+3+3-2=+6=6

Exercicis

1) -3-5+7-0 =

2) -7+6+0 =

3) -10+4-10+8-10+6 =

4*) 1-2+3-4+5-6+7-...+61-62 =

5) Un dofí dins del mar ascendeix 200 metres per caçar, després descendeix 400 metres tot seguit ascendeix 300 metres i, després de voltar, torna a ascendir 300 metres on roman quiet una estona i finalment ascendeix 200 metres arribant a la superfície del mar.

a) Feu un esquema ideal del recorregut del dofí.

b) A quina profunditat es trobava inicialment?

6) Un ascensor avariat té adaptat un panell temporalment que no és gens adequat, llavors quan puja ho fa de 3 en 3, i quan baixa ho fa de 5 en 5. S'ha d'esbrinar la suma que dona el resultat demanat en aquest edifici com indica l'esquema:

🌞
		+5
		+4
		+3
	👫	+2
		+1
🌲🌴		+0		🚗
		-1	🏃
	🧍	-2

a) Es vol pujar del pis -1 al pis 5e.

b) Es vol pujar del pis -2 al pis 5e.

a) Es vol baixar del 2n pis al 1r.

Producte de signes

Aquesta taula s'ha de memoritzar, perquè serveix per multiplicar, dividir i simplificar parèntesis.

$+\times +=+$	$-\times +=-$
$+\times -=-$	$-\times -=+$

¿Per què serveix i on el veurem?

Si tenim +15 € i es quadruplica, és a dir que es multiplica per 4, llavors fem (+15)⨯(+4)=+60 € i no hi ha més, no pot sortir negatiu.

Si tenim un deute de -200 € i multipliquem aquest per 3, llavors el que volem fer és (-200)⨯(+3)=-600 que significa de tenim un deute i és de -600 € i l'ordre no importa també (+3)⨯(-200)=-600 € però ha de ser negatiu sinó vol dir que guanyem i això no pot ser.

Simplificació de parèntesis

És freqüent trobar parèntesis amb un sol terme dins com -(-2), (-3), -(9) o (5), es pot interpretar com -(-2), +(-3), -(+9) o +(+5) respectivament ja que tot nombre sense signe és positiu.

Mètode de simplificació: s'identifiquen els signes de dins i de fora del parèntesis i es multipliquen amb la taula.

Vegem-ho directament amb exemples explicats:

1)

a)

-(-2)

=\overbrace {-(-} ^{-\times -=+}2)

=+2

=2

b) $-(+5)$ $=\overbrace {-(+} ^{-\times +=-}5)$ $=-5$

c) $+(-8)$ $=\overbrace {+(-} ^{+\times -=-}8)$ $=-8$

d) $+(+11)$ $=\overbrace {+(+} ^{+\times +=+}11)$ $=+11$ $=11$

e) $+(-0)$ $=\overbrace {+(-} ^{+\times -=-}0)$ $=-0$ $=0$

El zero és l'únic número en el que el signe no és rellevant, sobretot per que no es pot confondre amb un altre enter.

6)

(-4)

=\overbrace {+(-} ^{+\times -=-}4)

=-4

f) $-(7)$ $=\overbrace {-(+} ^{-\times +=-}7)$ $=-7$

g) $(10)$ $=\overbrace {+(+} ^{+\times +=+}10)$ $=+10$ $=10$

2) $-{\Big (}+(-9)\;{\Big )}$ $=-{\Big (}\overbrace {+(-} ^{+\times -=-}9)\;{\Big )}$ $=-(-9)$ $=\overbrace {-(-} ^{-\times -=+}9)$ $=+9$ $=9$

3) $-{\Big (}-(-1)\;{\Big )}$ $=-{\Big (}\overbrace {-(-} ^{-\times -=+}1)\;{\Big )}$ $=-(+1)$ $=\overbrace {-(+} ^{-\times +=-}1)$ $=-1$

Exercicis

1)

+(+11)=

2) $+(-100)=$

3) $-(+51)=$

4) $-(-3)=$

5)

(-12)=

6) $(2)=$

7) $-(8)=$

8) $-(-(-2))=$

Multiplicació

Per multiplicar dos nombres enters només cal multiplicar els signes amb la taula i després multipliquem els nombres, vegem-ho amb exemples:

a)

(+2)\times (+2)

=+\;\;2\times 2

=+4

=4

b) $(-4)\times (+2)$ $=-\;\;4\times 2$ $=-8$

c) $(+2)\times (-3)$ $=-\;\;2\times 3$ $=-6$

d) $(-3)\times (-5)$ $=+\;\;3\times 5$ $=+15$ $=15$

e)

-(+2)\times (+5)

=-(+\;\;2\times 5)

=-(+10)

=-10

f) $-(+3)\times (-1)$ $=-(-\;\;3\times 1)$ $=-(-3)$ $=+3$ $=3$

g) $-(-2)\times (+6)$ $=-(-\;\;2\times 6)$ $=-(-12)$ $=+12$ $=12$

h) $-(-7)\times (-3$ $)=-(+\;\;7\times 3)$ $=-(+21)$ $=-21$

Exercicis:

1)

-(+5)\times (+5)=

2) $-(-5)\times (-3)=$

3) $-(+7)\times (-4)=$

4) $-(-10)\times (+7)=$

5)

-(+2)\times 2=

6) $-2\times 8=$

7) $-4\times (-5)=$

8) $-(-5)\times 11=$

Divisió

En la divisió succeeix exactament el mateix, els signes es multipliquen i els nombres es divideixen com indica la operació, com per exemple:

a)

(+16)\div (+2)

=+\;\;16\div 2

=+8

=8

b) $(-4)\div (+2)$ $=-\;\;4\div 2$ $=-2$

c) $(+9)\div (-3)$ $=-\;\;9\div 3$ $=-3$

d) $(-25)\div (-5)$ $=+\;\;25\div 5$ $=+5$ $=5$

e)

-(+35)\div (+5)

=-(+\;\;35\div 5)

=-(+7)

=-7

f) $-(+3)\div (-1)$ $=-(-\;\;3\div 1)$ $=-(-3)$ $=+3$ $=3$

g) $-(-18)\div (+6)$ $=-(-\;\;18\div 6)$ $=-(-3)$ $=+3$ $=3$

h) $-(-27)\div (-3)$ $=-(+\;\;27\div 3)$ $=-(+9)$ $=-9$

Exercicis:

1)

-(+100)\div (+5)=

2) $-(-21)\div (-3)=$

3) $-(+64)\div (-4)=$

4) $-(-10)\div (+2)=$

5)

-100\div 5=

6) $-(-21)\div (-(-3))=$

7) $-64\div (-4)=$

8) $-(-10)\div 2=$

9) La temperatura d'un poble era 20 graus centígrads i es registres les següents variacions o oscil·lacions de temperatura fins a l'actualitat amb la taula:

a) -7

b) +6

c) -9

d) +10

e) -6

f) +5

g) -10

h) +11

Quina temperatura té actualment el poble?

Potències

Ja havíem vist les potencies amb nombres naturals, es a dir amb els nombres $\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots \}.$

$a^{n}=\underbrace {a\times \dots \times a} _{n\;\;vegades}=b$

Per fer el mateix amb els enters només cal vigilar amb els nombres negatius, per exemple:

a)

(-2)^{1}=(-2)=-2

b)

(-3)^{2}=(-3)\times (-3)

=+\;\;3\times 3

=+9=9

c)

(-2)^{10}

=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)

\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)

=+1024

=1024

d)

(-1)^{8}

=\underbrace {(-1)\times (-1)} _{+}\times \underbrace {(-1)\times (-1)} _{+}\times \underbrace {(-1)\times (-1)} _{+}\times \underbrace {(-1)\times (-1)} _{+}

=(+1)\times (+1)\times (+1)\times (+1)

=+1

=1

e)

(-1)^{9}

=\underbrace {(-1)\times (-1)} _{+}\times \underbrace {(-1)\times (-1)} _{+}\times \underbrace {(-1)\times (-1)} _{+}\times \underbrace {(-1)\times (-1)} _{+}

\times (-1)=(+1)\times (+1)\times (+1)\times (+1)\times (-1)

=-1

Així podem dir que:

$(-a)^{n}=\underbrace {(-a)\times \dots \times (-a)} _{n\;\;vegades}=a^{n}=+b=b$ quan n és parell $(-a)^{n}=\underbrace {(-a)\times \dots \times (-a)} _{n\;\;vegades}=-(a^{n})=-b$ quan n és imparell o senar

Clarament el signe menys sobreviu només si l'exponent és imparell i per tant és en el que ens hem de fixar.

Exercicis de simplificació i càlcul

1)

(-2)^{5}=

2) $(-3)^{3}=$

3) $(-5)^{2}=$

4) $(-1)^{888}=$

5) $(-1)^{999}=$

6)

+(+1)^{10}=

7) $+(-1)^{8}=$

8) $-(1)^{6}=$

9) $-(-1)^{22}=$

10) $-(-2)^{7}=$

Prioritats

Com que ens agrada escriure pocs parèntesis, estem obligats a fer cas dels càlculs segons aquest ordre de prioritat:

1a) Els parèntesis.

2a) potencies.

3a) Productes i divisions.

4a) Sumes i restes.

Per tant hem de fer amb prioritat unes operacions i després les de prioritat més baixa.

Exemples de productes i divisions amb sumes i restes:

Recordeu que primer es fan les multiplicacions o divisions i finalment quedarà una simple sèrie de sumes o restes.

Les multiplicacions i divisions successives es fan d'esquerra a dreta com es veu al apartat e:

a)

5+3\times 2-11\times 3-4\times 5+5

=5+\overbrace {3\times 2} -\overbrace {11\times 3} -\overbrace {4\times 5} +5

=5+6-33-20+5

=69

b)

1-3+1\times (-2)\times (+3)-4+5

=1-3+\overbrace {1\times (-2)\times (+3)} -4+5

=1-3+(-6)-4+5

=-7

c)

2+9\div 3-3\div 3+4\div 2-8

=2+\overbrace {9\div 3} -\overbrace {3\div 3} +\overbrace {4\div 2} -8

=2+3-1+2

=6

d)

9-6+1\times 18\div 3\div 2-3+6+1

=9-6+\overbrace {1\times 18\div 3\div 2} -3+6+1

=9-6+3-3+6+1

=10

e)

-4+24\cdot 2\div 4\div 3\cdot 2-1

=-4+\overbrace {\underbrace {24\cdot 2} \div 4\div 3\cdot 2} -1

=-4+\overbrace {\underbrace {48\div 4} \div 3\cdot 2} -1

=-4+\overbrace {\underbrace {12\div 3} \cdot 2} -1

=-4+\overbrace {4\cdot 2} -1

=-4+2-1

Exemples de potències amb productes i divisions amb sumes i restes:

Sempre té prioritat l'exponent sobre la resta d'operacions o signes:

a)

9+3^{2}=9+\overbrace {3^{2}} =9+9=18

b)

2\cdot 3^{3}=2\cdot \overbrace {3^{3}} =2\cdot 27=54

c)

-3^{4}-2=-\overbrace {3^{4}} -2=-(81)-2=-81-2=-83

Exemples d'operacions amb parèntesis:

Els parèntesis són els constructors del nostre llenguatge matemàtic sense ells no podríem escriure $(-1-2)\cdot 3=-3\cdot 3=-9$ que no es el mateix que $-1-2\cdot 3=-1-6=-7,$ tampoc podríem escriure $(-2)^{4}=+16=16$ ja que no dona el mateix que $-2^{4}=-16$ entre d'altres expressions. Per tant les seves operacions internes van primer que la resta d'operacions del voltant. Es tracta de anar calculant de dins cap a fora.