Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng $\Pi :ax+by+cz+d=0\,$ và một điểm $\mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ không nhất thiết phải nằm trên mặt phẳng, khoảng cách ngắn nhất từ $\mathbf {p} _{1}$ tới mặt phẳng là

$D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.$

Suy ra $\mathbf {p} _{1}$ nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi D=0.

Nếu ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1$ có nghĩa rằng a, b, và c được chuẩn hoá thì phương trình trở thành

$D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.$

Một dạng phương trình vector khác của mặt phẳng, được biết đến như là dạng pháp tuyến Hesse dựa trên tham số D. Có dạng

$\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} -D_{0}=0,$

với $\mathbf {n}$ là một vector pháp tuyến đơn vị đến mặt phẳng, $\mathbf {r}$ là một vector bán kính của một điểm thuộc mặt phẳng và D₀ là khoảng cách từ gốc đến mặt phẳng.

Công thức tổng quát cho các chiều không gian cao hơn có thể nhanh chóng đạt được bằng cách sử dụng ký hiệu vector. Cho các siêu mặt phẳng có phương trình $\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0$, với $\mathbf {n}$ là một vector pháp tuyến và $\mathbf {r} _{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})$ là bán kính vector trong siêu mặt phẳng. Ta mong muốn khoảng cách vuông góc tới điểm $\mathbf {r} _{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$. Các siêu mặt phẳng này cũng có thể được biểu diễn bằng phương trình vô hướng $\sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}$, với mọi hằng số $\{a_{i}\}$. Tương tự như vậy, $\mathbf {n}$ tương tự cũng có thể được biểu diễn là $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{N})$. Ta cần phép chiếu vô hướng của vector $\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{0}$ theo hướng của $\mathbf {n}$. Lưu ý rằng $\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{0}=\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {n} =-a_{0}$ (do $\mathbf {r} _{0}$ thoả phương trình của siêu mặt phẳng) ta có

${\begin{aligned}D&={\frac {|(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{0})\cdot \mathbf {n} |}{|\mathbf {n} |}}\\&={\frac {|\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {n} -\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {n} |}{|\mathbf {n} |}}\\&={\frac {|\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {n} +a_{0}|}{|\mathbf {n} |}}\\&={\frac {|a_{1}x_{11}+a_{2}x_{21}+\dots +a_{N}x_{N1}+a_{0}|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{N}^{2}}}}\end{aligned}}$.