Toán 10/Mệnh đề

Mệnh đề

Ví dụ

1. Ta có thể khẳng định câu "Một cộng một bằng hai" đúng hoặc sai.
2. Ta không thể khẳng định câu "Cái này giá bao nhiêu?" đúng hoặc sai.
3. Ta có thể khẳng định câu "Wikiversity là một trang báo" đúng hoặc sai.
4. Ta không thể khẳng định câu "Nhanh lên nào!" đúng hoặc sai.

Những câu ta có thể khẳng định đúng hoặc sai là một mệnh đề.

Định nghĩa

• Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Mệnh đề thường được ký hiệu bằng một chữ cái in hoa.

Lưu ý: Có những câu ta không thể khẳng định đúng hoặc sai, nhưng nó luôn nhận giá trị đúng hoặc sai. Những câu đó vẫn là một mệnh đề. Ví dụ:

1. Ta có thể không biết câu "Tổng thống Donald Trump sinh năm 1945" đúng hay sai, nhưng nó vẫn là mệnh đề.
2. Ta có thể không biết câu "Hoa Kỳ từng là thuộc địa của đế quốc Anh" đúng hay sai, nhưng nó vẫn là mệnh đề.

Mệnh đề chứa biến

Ví dụ

1. Xét câu "X chia hết cho 3". Ta không thể xác định câu đó đúng hay sai, nhưng thay X bởi bất kỳ một số luôn cho ta một câu đúng hoặc sai. Như vậy câu trên là một mệnh đề.
2. Xét câu "Y là số tự nhiên". Ta không thể xác định câu đó đúng hay sai, nhưng thay Y bởi bất kỳ một số luôn cho ta một câu đúng hoặc sai. Như vậy câu trên là một mệnh đề.

Hai câu trên là ví dụ của mệnh đề chứa biến.

Định nghĩa

• Mệnh đề chứa biến là câu có chứa biến số, mỗi giá trị của biến luôn cho ta câu đúng hoặc sai.

Phủ định một mệnh đề

Ví dụ

1. Xét mệnh đề "Một cộng một bằng hai", ta có thể phủ định mệnh đề đã cho rằng "Một cộng một không bằng hai".
2. Xét mệnh đề "Cá heo không thuộc lớp Cá", ta có thể phủ định mệnh đề đã cho rằng "Cá heo thuộc lớp cá".

Một mệnh đề trong mỗi ví dụ đều phủ định mệnh đề còn lại. Để phủ định một mệnh đề, ta thường thêm hoặc bỏ từ không, không phải trước vị ngữ của câu.

Kí hiệu

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $A$ được kí hiệu là ${\bar {A}}$.

Ta có $A$ đúng khi ${\bar {A}}$ sai, $A$ sai khi ${\bar {A}}$ đúng.

Mệnh đề kéo theo

Ví dụ

1. Xét câu "Nếu tôi không có ý chí thì tôi sẽ thất bại", đây là một mệnh đề vì ta có thể khẳng định nó đúng hoặc sai. Khác với các các ví dụ trước, câu này có cấu trúc Nếu ... thì ... với hai vế câu đều là hai mệnh đề.
2. Xét câu "Nếu tam giác $ABC$ là tam giác đều thì nó có một góc bằng $45^{\circ }$", đây là một mệnh đề vì ta có thể khẳng định nó đúng hoặc sai. Giống ví dụ trên, câu này có cấu trúc Nếu .. thì ... với hai vế đều là hai mệnh đề.

Những mệnh đều có cấu trúc Nếu ... thì ... như trên, ta gọi nó là Mệnh đề kéo theo.

Định nghĩa

• Mệnh đề "Nếu $A$ thì $B$ " được gọi một mệnh đề kéo theo.
• Kí hiệu là $A\Rightarrow B$, đọc là "Nếu A thì B", "A suy ra B" hoặc "A kéo theo B".

Khi xét tính đúng sai, ta chỉ dựa vào mệnh đề vế sau. $A\Rightarrow B$ đúng khi $B$ đúng, $A\Rightarrow B$ sai khi $B$ sai.

Lưu ý: Khi xét tính đúng sai của mệnh đề vế sau, tức là ta tính đúng sai của kết quả so với nguyên nhân.

Điều kiện cần và điều kiện đủ

Xét mệnh đề $A\Rightarrow B$, ta có:

• $A$ là giả thiết của định lý, là điều kiện đủ để có $B$.
• $B$ là kết luận của định lý, là điều kiện cần để có $A$.

Điều này có nghĩa $A$ là đủ để có $B$, $B$ là cần nhưng chưa đủ để có $A$.

Trong một số trường hợp, $A$ là đủ để có $B$ và $B$ là đủ để có $A$, khi đó ta nói:

1. $A$ là điều kiện cần và đủ để có $B$
2. $B$ là điều kiện cần và đủ để có $A$

Trong trường hợp như trên, ta kí hiệu là $A\Leftrightarrow B$, đọc là "A tương đương B", "A khi và chỉ khi B", hoặc như 2 cách trên.

Tham khảo

• Sách giáo khoa Đại số lớp 10, bài 1 - nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.