Nombres racionals III

En aquesta secció s'introdueix al treball de totes les fraccions com un conjunt.

Introducció

A l'antiguitat trobem mols vestigis de fraccions que tenen diferents formes, uns associats a dibuixos uns altres barrejant altres símbols.

A l'Amèrica en trobem els asteques que mesuraven longituds amb diferents mesures on unes eren fraccions d'altres indicats amb dibuixos.

A l'antic continent han aparegut diverses vegades les fraccions:

Els primers que van utilitzar amb consciencia les fraccions van ser els sumeris i la seva escriptura va anar evolucionant fins a obtenir un sistema numèric sexagesimal molt modern.

Els egipcis van fer fraccions amb parts de l'ull d'Horus.

Els nombres racionals

Els nombres racionals són valors de la forma:

${\frac {a}{b}}$

On a és un nombre enter i b és un nombre enter diferent de zero.

Exemples:

${\frac {4}{5}},$ ${\frac {7}{-2}},$ ${\frac {-1}{9}},$ $-{\frac {7}{3}},$ ${\frac {4}{2}},$ ${\frac {0}{8}}$ o $-{\frac {1}{2}}$

La recta numèrica amb fraccions

Les fraccions són valors que es poden expressar amb valors decimals aproximats, només cal dividir el numerador entre el denominador.

${\frac {1}{1}}=1,$ $-{\frac {1}{1}}=-1$ ${\frac {1}{2}}=0'5,$ $-{\frac {1}{2}}=-0'5,$ ${\frac {3}{2}}=1'5,$ $-{\frac {3}{2}}=-1'5,$ ${\frac {2}{1}}=2$ i $-{\frac {2}{1}}=-2$

El lloc de cada fracció és doncs:

Oposat d'una fracció

Per fer l'oposat d'una fracció només cal canviar el signe que tingui.

Exemples:

Número	$\xrightarrow {\;\;\;Op\;\;\;}$	Oposat
${\frac {3}{2}}$	$\longmapsto$	$-{\frac {3}{2}}$
$-{\frac {1}{2}}$	$\longmapsto$	${\frac {1}{2}}$
${\frac {2}{1}}$	$\longmapsto$	$-{\frac {2}{1}}$
${\frac {0}{1}}$	$\longmapsto$	${\frac {0}{1}}$

Propietats

• La suma de nombres oposats és zero.

• La distància de la fracció al zero i del seu oposat al zero és la mateixa.

• És com una simetria des de el zero i on el zero es queda quiet.

• L'oposat d'un oposat torna a ser el mateix número.

Invers d'una fracció

Per fer l'Invers d'una fracció només cal intercanviar el numerador amb el denominador.

Exemples:

Número	$\xrightarrow {\;\;\;Inv\;\;\;}$	Invers
${\frac {3}{2}}$	$\longmapsto$	${\frac {2}{3}}$
$-{\frac {7}{2}}$	$\longmapsto$	$-{\frac {2}{7}}$
${\frac {5}{8}}$	$\longmapsto$	${\frac {8}{5}}$
${\frac {0}{1}}$	$\longmapsto$	No en té.

Propietats

• El producte de números inversos és 1.

• Un número i el seu invers tenen el mateix signe.

• L'invers d'un invers torna a ser el mateix números.

Valor absolut

Per fer valor absolut només cal esborrar el signe negatiu.

Exemples:

Número	$\xrightarrow {\;\;\;|\cdot |\;\;\;}$	Invers
${\frac {3}{2}}$	$\longmapsto$	${\frac {2}{3}}$
$-{\frac {7}{2}}$	$\longmapsto$	${\frac {2}{7}}$
${\frac {5}{8}}$	$\longmapsto$	${\frac {8}{5}}$
${\frac {0}{1}}$	$\longmapsto$	${\frac {0}{1}}$

Operacions

Les operacions amb fraccions són importants de cara a obtenir fraccions simples i irreductibles que hauria de ser un hàbit per sempre.

Recordem que per simplificar o reduir fraccions es busca un divisor comú al numerador i denominador, i fem l'operació fins que ja no es pugui més.

${\frac {8}{32}}={\frac {4\cdot 2}{16\cdot 2}}={\frac {4\cdot {\cancel {2}}}{16\cdot {\cancel {2}}}}={\frac {4}{16}}$

Per tant això equival a dividir per 2 al numerador i denominador, com que es pot dividir més continuem:

${\frac {4}{16}}={\frac {2\cdot 2}{8\cdot 2}}={\frac {2\cdot {\cancel {2}}}{8\cdot {\cancel {2}}}}={\frac {2}{2}}={\frac {2}{4\cdot 2}}={\frac {\cancel {2}}{4\cdot {\cancel {2}}}}={\frac {1}{4}}.$

Com que ja no podem dividir més ja està reduït.

Observacions

• En reduir una fracció mai pot aparèixer un zero, pensem que en reduir apareix un 1 al numerador i denominador.

Exemple molt detallat on un nombre es repeteix multiplicant al numerador i denominador llavors es simplifica com 1:

${\frac {42}{6}}={\frac {21\cdot 2}{3\cdot 2}}={\frac {21\cdot {\cancel {2}}}{3\cdot {\cancel {2}}}}={\frac {21\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {21}{3}}={\frac {7\cdot 3}{1\cdot 3}}={\frac {7\cdot {\cancel {3}}}{1\cdot {\cancel {3}}}}={\frac {7\cdot 1}{1\cdot 1}}={\frac {7}{1}}=7.$

Producte

Per fer el producte o multiplicació de dues fraccions presentem una fórmula però cal fixar-se en els exemples.

${\frac {\color {blue}a\color {black}}{\color {red}b\color {black}}}\cdot {\frac {\color {blue}c\color {black}}{\color {red}d\color {blue}}}={\frac {\color {blue}a\cdot c\color {black}}{\color {red}b\cdot d\color {black}}}$

Exemples:

a) ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {5}{7}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 7}}={\frac {10}{21}}$

b) ${\frac {-1}{2}}\cdot {\frac {5}{3}}={\frac {-1\cdot 5}{2\cdot 3}}={\frac {-5}{6}}=-{\frac {5}{6}}$

c) ${\frac {7}{-2}}\cdot {\frac {8}{3}}={\frac {7\cdot 8}{-2\cdot 3}}={\frac {56}{-6}}=-{\frac {56}{6}}=-{\frac {28}{3}}$

d) $5\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {5}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {5\cdot 2}{1\cdot 3}}={\frac {10}{3}}$

Divisió

Per fer la divisió entre dues fraccions presentem una fórmula però cal fixar-se en els exemples.

${\frac {\color {blue}a\color {black}}{\color {red}b\color {black}}}\div {\frac {\color {red}c\color {black}}{\color {blue}d\color {black}}}={\frac {\color {blue}a\cdot d\color {black}}{\color {red}b\cdot c\color {black}}}$

Exemples:

a) ${\frac {2}{3}}\div {\frac {5}{7}}={\frac {2\cdot 7}{3\cdot 5}}={\frac {14}{15}}$

b) ${\frac {-1}{2}}\div {\frac {5}{3}}={\frac {-1\cdot 3}{2\cdot 5}}={\frac {-3}{10}}=-{\frac {3}{10}}$

c) ${\frac {7}{-2}}\div {\frac {8}{3}}={\frac {7\cdot 3}{-2\cdot 8}}={\frac {21}{-16}}=-{\frac {21}{16}}$

d) $5\div {\frac {2}{3}}={\frac {5}{1}}\div {\frac {2}{3}}={\frac {5\cdot 3}{1\cdot 2}}={\frac {15}{2}}$

Sumes i restes

Les sumes successives de fraccions es poden agrupar en dos grups, les que tenen mateix denominador i les que no tenen mateix denominador on es distingeix també casos o dreceres.

Mateix denominador

Fórmula per sumar i restar fraccions amb mateix denominador:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}={\frac {a+c}{b}}$

${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{b}}={\frac {a-c}{b}}$

Exemples:

a) ${\frac {23}{2}}-{\frac {13}{2}}+{\frac {5}{2}}={\frac {23-13+5}{2}}={\frac {15}{2}}$

b) ${\frac {4}{3}}+{\frac {5}{3}}-{\frac {6}{3}}={\frac {4+5-6}{3}}={\frac {3}{3}}=1$

c) ${\frac {-3}{5}}+{\frac {7}{5}}-{\frac {-1}{5}}-{\frac {3}{5}}={\frac {-3+7-(-1)-3}{5}}={\frac {2}{3}}$