Omwentelingslichaam van een kromme (wiskunde B)
< wiskunde
In deze les is het het doel om te leren hoe je de inhoud van een omwentelingslichaam berekent. Allereerst zal de theorie worden uitgelegd, waarna er 2 opgaven volgen die testen of je deze theorie begrepen hebt en er vraagstukken mee kunt oplossen. Onderaan de pagina vind je een video die je als leidraad kunt gebruiken voor deze les; de theorie wordt er zeer uitgebreid in besproken en de opgaven worden erin uitgewerkt.
Niveau: Wiskunde B - VWO 6 Benodigde voorkennis: Integraalrekening (VWO) + Volumeintegralen (VWO)
Theorie
editBeschouw een functie f(x) op het interval [a,b] die we om de x-as wentelen. Op deze manier verkrijgen we een 3D-lichaam dat we het omwentelingslichaam noemen:
Hopelijk zie je dat de inhoud van dit lichaam overeenkomt met de volumeintegraal van alle cirkeldoorsneden zoals die getekend in de figuur. Wanneer we namelijk de dikte infinitesimaal klein maken, oftewel dikte dx, en ons realiseren dat de straal van een cirkel op "hoogte" x correspondeert met de functiewaarde f(x), dan verkrijgen we de volgende integraal:
ʃπ(f(x))2dx
ondergrens = a, bovengrens = b
Wanneer je om de y-as wentelt, dien je de inverse functie van f te berekenen (verwissel y met x) en vervolgens het integratieinterval op de y-as van f naar de x-as van finv te verplaatsen, waarna je het bovenstaande weer kunt toepassen.
Opgaven
edit1. Gegeven de functie g(x) = sin x. Deze functie wordt om de x-as gewenteld op het interval [0,π].
a) Stel de integraal op waarmee je de inhoud van het omwentelingslichaam kunt berekenen.
b) Laat zien dat sin2x = 1/2-1/2cos(2x)
c) Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.
2. Gegeven de functie f(x) = ln(x+1). Deze functie wordt om de y-as gewenteld met als interval y€[0,2]. Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam.