Phương trình đạo hàm bậc hai

Dạng tổng quát

$af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0$

Giải phương trình

$a{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)+{\frac {d}{dt}}f(t)+cf(t)=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)+{\frac {b}{a}}{\frac {d}{dt}}f(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-{\frac {b}{a}}{\frac {d}{dt}}f(t)-{\frac {c}{a}}f(t)$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-2\alpha {\frac {d}{dt}}f(t)-\beta f(t)$

Cho nghiệm phương trình

• Với $\alpha =\beta$, 1 nghiệm số thực $f(t)=Ae^{-\alpha t}$
• Với $\alpha >\beta$, 2 nghiệm số thực $f(t)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}$ .
• Với $\alpha <\beta$, 2 nghiệm số phức $f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )\sin \omega t$ .

Với

$A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\beta ={\frac {1}{T}}={\frac {c}{a}}$

$\alpha =\beta \gamma ={\frac {b}{2a}}$

$\gamma ={\frac {b}{2c}}$

Từ trên, Với

• $\alpha =0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-\beta f(t)$

$f(t)=Ae^{{\sqrt {-\beta }}t}=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\beta ={\frac {1}{T}}$

$T=LC$

• $\beta =0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-2\alpha {\frac {d}{dt}}f(t)$

${\frac {d}{dt}}f(t)=-2\alpha f(t)$

$f(t)=Ae^{-{\frac {1}{T}}t}$

$T={\frac {1}{2\alpha }}$

Phương trình đạo hàm bậc hai đặc biệt

Dạng tổng quát

$af^{''}(t)+bf(t)=0$

Giải phương trình

$af^{''}(t)+bf(t)=0$

$f^{''}(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$f(t)=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{T}}}$