Phương trình tổng quát của một mặt phẳng

Cũng như các đường thẳng có hướng trong không gian hai chiều được biểu diễn bằng cách sử dụng phương trình điểm-hệ số góc, mặt phẳng trong không gian ba chiều có dạng biểu diễn tự nhiên sử dụng một điểm trong mặt phẳng và một vector trực giao với nó (các vector pháp tuyến) để chỉ ra "góc nghiêng" của nó.

Cụ thể, đặt $\mathbf {r} _{0}$ là vectơ bán kính của điểm $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$, đặt $\mathbf {n} =(a,b,c)$ là một vector khác không. Mặt phẳng được xác định bằng điểm này và vector chứa các điểm $P$, có vectơ bán kính $\mathbf {r}$, sao cho vector vẽ từ $P_{0}$ đến $P$ vuông góc với $\mathbf {n}$. Nhớ rằng hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng không, do đó mặt phẳng mong muốn có thể được mô tả như là tập tất cả các điểm $\mathbf {r}$ sao cho

$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$

(Dấu chấm ở đây có nghĩa là một tích vô hướng của 2 vector, không phải phép nhân vô hướng.) Mở rộng này sẽ trở thành

$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$

đó chính là phương trình điểm-pháp tuyến của một mặt phẳng. Đây là một phương trình tuyến tính:

$ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).$

Ngược lại, dễ dàng chỉ ra rằng nếu a, b, c và d là hằng số và a, b, c là không đồng thời bằng không, thì đồ thị của phương trình

$ax+by+cz+d=0,$

là một mặt phẳng nhận vector $\mathbf {n} =(a,b,c)$ làm pháp tuyến Ví dụ một phương trình hồi quy có dạng y = d + ax + cz (with b=-1) thiết lập mặt phẳng phù hợp nhất trong không gian ba chiều khi có hai biến giải thích.