Polinomi adaptació Ll1

Definició algebraica de polinomi, es donen els conceptes elementals del que és un polinomi i la seva identificació extensament.

Definicions

Un monomi o terme és un conjunt de valors constants(coeficients) i variables amb potències enteres que es multipliquen.

Exemple de monomis:

1) $3\cdot x$ el punt de multiplicació es pot estalviar $3x$

2) -7

3) $xy$

4) $a8x^{5}$

5) $-5x^{2}y^{3}2$ els valors es poden multiplicar $-10x^{2}y^{3}$

Un polinomi no és més que sumes de monomis o termes i, per tant, veurem que són multiplicacions separades per sumes i restes. A la imatge veiem assenyalats els termes del polinomi $-2x^{2}+20-x+{\sqrt {3}}y$

Exemples de polinomis:

1) $-3xz+5yx^{3}-12xy^{2}z-3$ és un polinomi en arbitrari amb 4 termes.

2) $2-3x+x^{2}+5x^{3}+7x^{4}-9x^{5}$ és el tipus de polinomis que més usarem amb 6 termes.

Forma algebraica general d'un polinomi p(x):

$p(x)$ $=a_{n}x^{n}+\dots +a_{6}x^{6}$ $+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}$

on tots els coeficients $a_{i}$ són constants i poden ser qualsevol nombre real: $-5,0,{\sqrt {5}},-{\tfrac {3}{7}}$ o $2{\sqrt {3}}$, i on n és un nombre natural(només assegura que el polinomi tingui una quantitat finita de termes).

Exemples donant les $a$ amb cada subíndex:

1) Quin és el polinomi $q(x)$ si els únics coeficients diferents de zero són $a_{0}=1$, $a_{1}=-2$, $a_{6}=-5$ i $a_{8}={\tfrac {12}{5}}$?

Solució:

Substituïm els valors sobre la forma general, donant el resultat: $q(x)$ $={\tfrac {12}{5}}x^{8}+0x^{7}+(-5)x^{6}+0x^{5}+0x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+(-2)x^{1}+1x^{0}$ Simplificant els termes multiplicats per zero i $x^{0}=1$, tenim que: $q(x)={\tfrac {12}{5}}x^{8}+(-5)x^{6}+(-2)x^{1}+1$, és a dir, $q(x)={\tfrac {12x^{8}}{5}}-5x^{6}-2x+1.$

2) Quin és el polinomi $r(x)$ si els únics coeficients diferents de zero són $a_{3}=-1$, $a_{4}=12$, $a_{5}=1$ i $a_{6}={\sqrt {2}}$?

Solució:

Substituïm els valors sobre la forma general, donant el resultat: $r(x)$ $={\sqrt {2}}x^{6}+1x^{5}+12x^{4}+(-1)x^{3}+0x^{2}+0x^{1}+0x^{0}$ Simplificant els termes multiplicats per zero, tenim que: $r(x)={\sqrt {2}}x^{6}+1x^{5}+12x^{4}+(-1)x^{3}$, és a dir, $q(x)={\sqrt {2}}x^{6}+x^{5}+12x^{4}-x^{3}.$

Operacions

Suma de polinomis

Els polinomis es poden sumar directament de forma horitzontal o posant un sota l'altre i sumar-lo com si fos una suma de nombres:

Cal tenir en compte que només es poden sumar els termes amb el mateix tipus de variable i potència. Exemple:

$(3x^{5})+(8x^{15})$ no es pot sumar perquè un terme té variable amb potencia 5 i l'altre terme té variable amb potència 15.

$(3x^{13})+(-2x^{13})=(3-2)x^{13}=1x^{13}=x^{13}$ perquè tenen variable amb la mateixa potència i per tant aquest sí que es pot sumar.

Quan els polinomis són llargs, $p(x)=-x^{3}+3x^{2}+x-1$ i $q(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6,$ per sumar $p(x)+q(x)$ farem servir el següent sistema.

${\begin{array}{ccc}&&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&x^{4}&+x^{3}&-x^{2}&-2x&+6\\\hline &x^{4}&0&2x^{2}&-x&+5\\\end{array}}$

Per sumar verticalment tindrem en compte: 1) Cal ordenar el polinomi amb les potencies decreixents, deixant zeros en cas de faltar alguna potència. 2) En posar el segon polinomi a sota cal fer correspondre les potencies iguals.

Producte per escalar

Podem multiplicar un polinomi, $p(x)=-x^{3}+3x^{2}+x-1,$ per un nombre, $-2.$

Vegem la multiplicació:

${\begin{array}{ccc}&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&&-2\\\hline &+2x^{3}&-6x^{2}&-2x&+2\\\end{array}}$

Per multiplicar el polinomi per un escalar és el mateix que fer la propietat distributiva, fixeu-vos que el nombre -2 multiplica als 4 termes: $(-2)\cdot p(x)=-2\cdot (-x^{3}+3x^{2}+x-1)$ $=(-2)\cdot (-x^{3})+(-2)\cdot (3x^{2})+(-2)\cdot (x)-(-2)\cdot (1)$ $=+2x^{3}-6x^{2}-2x+2$

Resta de polinomis

La raó que porta a fer la resta després de la multiplicació és deguda a que convertirem la resta en suma. Suposem que volem restar a $p(x)=-x^{3}+3x^{2}+x-1$ el polinomi $q(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6,$ llavors el que fem es multiplicar el polinomi que resta per -1, és a dir, $(-1)\cdot (x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x+6)$ $=-x^{4}-x^{3}+x^{2}+2x-6$ i ja es pot sumar, vegem la diferencia:

${\begin{array}{ccc}&&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline -\\\hline \end{array}}&x^{4}&+x^{3}&-x^{2}&-2x&+6\\\hline &-x^{4}&-2x^{3}&4x^{2}&+3x&-7\\\end{array}}$

${\begin{array}{ccc}&&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&-x^{4}&-x^{3}&+x^{2}&+2x&-6\\\hline &-x^{4}&-2x^{3}&4x^{2}&+3x&-7\\\end{array}}$

Recordeu que la segona proposta es per estalviar errors, en cas d'usar la primera forma directament, si ho fa correctament, també està bé.

Producte de polinomis

Podem anar més enllà que un producte per escalar i multiplicar el polinomi, $p(x)=-x^{3}+3x^{2}+x-1,$ per tot un monomi qualsevol com $p(x)=4x^{3}.$

Vegem la multiplicació:

${\begin{array}{ccc}&-x^{3}&+3x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&&&4x^{3}\\\hline &-4x^{6}&+12x^{5}&+4x^{4}&-4x^{3}\\\end{array}}$

Per multiplicar el polinomi per un monomi és la mateixa propietat distributiva, fixeu-vos que el nombre $p(x)=4x^{3}$ multiplica als 4 termes: $(4x^{3})\cdot p(x)=(4x^{3})\cdot (-x^{3}+3x^{2}+x-1)$ $=(4x^{3})\cdot (-x^{3})+(4x^{3})\cdot (3x^{2})+(4x^{3})\cdot (x)-(4x^{3})\cdot (1)$ $=-4x^{6}+12x^{5}+4x^{4}-4x^{3}$

Ara veiem com es multipliquen dos polinomis en general com si fos el producte de dos nombres qualsevols $p(x)=-x^{2}+x-1$ i $q(x)=3x^{2}+2x+1$.

${\begin{array}{ccc}&&-x^{2}&+x&-1\\{\begin{array}{|c|}\hline \times \\\hline \end{array}}&&3x^{2}&2x&1\\\hline &&-x^{2}&+x&-1\\&-2x^{3}&+2x^{2}&-2x&\\-3x^{4}&+3x^{3}&-3x^{2}&&\\\hline -3x^{4}&x^{3}&-2x^{2}&-x&-1\\\end{array}}$

Per multiplicar el polinomi en aquest cas surten tres files, que fan els tres termes del segon polinomi i són les següents: $(-x^{2}+x-1)(1)=-x^{2}+x-1$ $(-x^{2}+x-1)(2x)=-2x^{3}+2x^{2}-2x$ $(-x^{2}+x-1)(3x^{2})=-3x^{4}+3x^{3}-3x^{2}$ Si hem col·locat ordenadament les fileres, fent correspondre les potències iguals, llavors ja podem sumar-les.

Producte notables o identitats notables

Encara que hi ha molts productes notables, ens interesa el cas de productes de polinomis(binomis) freqüents:

Del producte $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$, que el podem fer com si fos un producte de polinomis, podem obtenir les següents identitads:

1) $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab.$

2) $(x+a)(x+a)=x^{2}+2ax+a^{2}.$

3) $(x+a)(x-a)=x^{2}-a^{2}.$

4) $(x-a)(x-a)=x^{2}-2ax+a^{2}.$

Divisió de polinomis

Per dividir polinomis farem servir també el sistema de divisió numèric estès, és a dir, amb una resta explícita.

Donats els polinomis $p(x)=x^{4}-1$ i $q(x)=x-1$ volem fer la divisió $p(x)\div q(x)$

Passos:

El primer pas ha sigut trobar la $x^{3}$ de forma que en restar el producte $(x^{3})(x-1)=x^{4}-x^{3}$ doni un zero sota les $x^{4}.$ ${\begin{array}{l}{\begin{array}{c}\;\;\;x^{4}&\;\;\;0&\;\;\;\;0&\;\;\;\;0&-1\end{array}}&{\begin{array}{|c}x-1\\\hline \end{array}}\\{\begin{array}{c}-x^{4}&+x^{3}&&&\end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline x^{3}\\\hline \end{array}}\\{\begin{array}{c}\hline \;\;\;0&+x^{3}\\\end{array}}&\end{array}}$ Un cop feta cada resta podem baixar els termes restants del polinomi a l'alçada de $x^{3}.$ En aquest cas només he baixat un zero per que no té termes amb $x^{2}$ perquè ajuda a espaiar les operacions, si els baixo tots quedaria el polinomi $x^{3}+0+0-1$ res més. El següent pas és fer zeros sota les $x^{3}$ llavors: ${\begin{array}{l}{\begin{array}{c}\;\;\;x^{4}&\;\;\;0&\;\;\;\;0&\;\;\;\;0&-1\end{array}}&{\begin{array}{|c}x-1\\\hline \end{array}}\\{\begin{array}{c}-x^{4}&+x^{3}&&&\end{array}}&x^{3}{\begin{array}{|c|}\hline +x^{2}\\\hline \end{array}}\\{\begin{array}{c}\hline \;\;\;0&+x^{3}&\;\;0\\&-x^{3}&+x^{2}\\\hline &\;\;\;0&+x^{2}\\\end{array}}&\end{array}}$ Continuem fent zeros sota les $x^{2}$ llavors: ${\begin{array}{l}{\begin{array}{c}\;\;\;x^{4}&\;\;\;0&\;\;\;\;0&\;\;\;\;0&-1\end{array}}&{\begin{array}{|c}x-1\\\hline \end{array}}\\{\begin{array}{c}-x^{4}&+x^{3}&&&\end{array}}&x^{3}+x^{2}{\begin{array}{|c|}\hline +x\\\hline \end{array}}\\{\begin{array}{c}\hline \;\;\;0&+x^{3}&\;\;0\\&-x^{3}&+x^{2}\\\hline &\;\;\;0&+x^{2}&\;\;0\\&&-x^{2}&+x\\\hline &&\;\;\;0&+x\\\end{array}}&\end{array}}$ Per últim vegem que dona en continuar fent zeros: ${\begin{array}{l}{\begin{array}{c}\;\;\;x^{4}&\;\;\;0&\;\;\;\;0&\;\;\;\;0&-1\end{array}}&{\begin{array}{|c}x-1\\\hline \end{array}}\\{\begin{array}{c}-x^{4}&+x^{3}&&&\end{array}}&x^{3}+x^{2}+x{\begin{array}{|c|}\hline +1\\\hline \end{array}}\\{\begin{array}{c}\hline \;\;\;0&+x^{3}&\;\;0\\&-x^{3}&+x^{2}\\\hline &\;\;\;0&+x^{2}&\;\;0\\&&-x^{2}&+x\\\hline &&\;\;\;0&+x&-1\\&&&-x&+1\\\hline &&&\;\;\;0&\;\;\;0\\\end{array}}&\end{array}}$ Per tant com que el reste és zero llavors vol dir que la divisió és exacta, és a dir: ${\frac {x^{4}-1}{x-1}}=x^{3}+x^{2}+x+1$ O també que: $x^{4}-1=(x-1)\cdot (x^{3}+x^{2}+x+1)$

Exercicis:

1) Efectueu les divisions següents seguint els passos anteriors:

a) ${\frac {3x^{4}-x^{3}-2x^{2}+1}{x+1}}=$

b) ${\frac {x^{4}+5x^{3}+7x^{2}+2}{-x+2}}=$

Ruffini

Ruffini és un mètode especial per accelerar divisions particulars, usat per cercar o assajar possibles solucions d'equacions polinòmiques.

Volem convertir polinomis del tipus $x^{2}+3x+2$ en expressions del tipus $(x+2)(x+1)$ ja que sabem $x^{2}+3x+2=(x+2)(x+1)$, per tant es poden fer amb les divisions del tipus:

${\frac {x^{2}+3x+2}{x+2}}=(x+1)$ o també ${\frac {x^{2}+3x+2}{x+1}}=(x+2)$

Per tant volem convertir polinomis en producte de binomis fent poc a poc divisions fins que no quedin més possibilitats, vegem el mètode:

Passos:

Primer de tot, per descompondre un polinomi en producte de binomis, cal fixar-se en el terme independent ja que conté la multiplicació de tots els termes independents dels binomis que volem trobar. Observació: Quin són els candidats a termes independents dels binomis: $(x+a)(x+b)(x+c)=(x+a)(x^{2}+(b+c)x+bc)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x{\begin{array}{|c|}\hline +abc\\\hline \end{array}}$ per tant els termes independents, dels binomis, multiplicats dona abc que és el terme independent del polinomi resultant. Donat el polinomi $x^{4}-5x^{2}{\begin{array}{|c|}\hline +4\\\hline \end{array}}$ farem els següents passos: I) En la descomposició del terme independent 4 dona $4=2^{2}$ i per tant els posibles divisors de 4 són -1, 1, -2, 2 i 4. II) Escriure la capsa següent convertint el polinomi $x^{4}-5x^{2}+4$ en una expressió sense desprovista de x però posant zeros en la posició on manquen potencies de x, és a dir, $1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4$ ${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\downarrow \\\hline \end{array}}\\&1\\\end{array}}$ La línia horitzontal és la de sumar. La línia vertical separa el multiplicador, en aquest cas és 2, que correspon al terme independen del polinomi divisor $x-2$ conviat de signe. Baixem el primer terme del polinomi 1 com la fletxa indica. II.1) Multipliquem el multiplicador 2 pel valor 1 baixat i el resultat el sumem a la següent columna. ${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;2\cdot 1\\\hline \end{array}}\\&1\\\end{array}}$ II.2) Fem la suma per fer obtenint el següent valor que multiplicarem. ${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;+2\\\hline \end{array}}\\&1\;\;\;\;+2\\\end{array}}$ Repetició dels passos II.1 i II.2 fins omplir tota la taula II.1) Multipliquem el multiplicador 2 pel 2 obtingut en la suma anterior $2\cdot 2=4$ ${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;2\cdot 2\\\hline \end{array}}\\&1\;\;\;\;+2\\\end{array}}$ II.2) Fem la suma $-5+4=-1.$ ${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\\\hline \end{array}}\\&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\\\end{array}}$ II.1) $2\cdot (-1)=-2.$ ${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\\\hline \end{array}}\\&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\\\end{array}}$ II.2) $-2+0=-2.$ ${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\\\hline \end{array}}\\&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\\\end{array}}$ II.1) $2\cdot (-2)=-4.$ ${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\;\;\;-4\\\hline \end{array}}\\&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\\\end{array}}$ II.2) $+4-4=0.$ Finalment obtenim la taula plena: ${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\;\;\;-4\\\hline \end{array}}\\&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\;\;\;\;+0\\\end{array}}$ Si la última suma dona zero llavors vol dir que la divisió és exacta i la cadena resultant sense l'últim zero és $1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2$ i el podem traduir com un polinomi amb terme independent és aquest -2, per tant el polinomi el reconstruirem com $1x^{3}+2x^{2}-1x-2.$ Ara podem afirmar que: $x^{4}-5x^{2}+4=(x-2)(1x^{3}+2x^{2}-1x-2)$ També podem dir que $x-2$ és un divisor del polinomi $x^{4}-5x^{2}+4.$

Factorització de polinomis

Factoritzar polinomis és fer una descomposició en productes de binomis de del tipus ax+b, i apareixen tants com la màxima potència és a dir:

$a_{n}x^{n}+\dots +a_{3}x^{3}$ $+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}$ $=a_{n}(x+b_{1})(x+b_{2})(x+b_{3})\cdot \dots \cdot (x+b_{n})$

No sempre es poden factoritzar els polinomis, per tant, factoritzarem polinomis que es poden factoritzar fàcilment per Ruffini:

Exemple: Donat el polinomi $2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6,$ es demana factoritzar-lo:

${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;1\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}2\;\;\;+1\;\;\;-8\;\;\;-1\;\;\;+6\\\;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\\\hline \end{array}}\\&2\;\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\;\;\;\;+0\\\end{array}}$	Per tant diu que $2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6$ $=(x-1)(2x^{3}+3x^{2}-5x-6)$
${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;-1\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}2\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\\\;\;\;\;\;\;-2\;\;\;\;-1\;\;\;+6\\\hline \end{array}}\\&2\;\;\;\;+1\;\;\;-6\;\;\;\;+0\\\end{array}}$	Per tant diu que $2x^{3}+3x^{2}-5x-6$ $=(x+1)(2x^{2}+x-6)$
${\begin{array}{rl}{\begin{array}{r}\\\;\;-2\\\end{array}}\ &{\begin{array}{|l}2\;\;\;+1\;\;\;-6\\\;\;\;\;\;\;-4\;\;\;+6\\\hline \end{array}}\\&2\;\;\;\;-3\;\;\;+0\\\end{array}}$	Per tant diu que $2x^{2}+x-6$ $=(x+2)(2x-3)$ i ja hem acabat.

En resum podem dir que les taules de Ruffini es poden ajuntar(tutorial) i el polinomi finalment queda com:

$2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6$ $=(x-1)(x+1)(x+2)(2x-3)$

Equacions polinòmiques

Com que les equacions no tenen un mètode general persolucionar-les, podem utilitzar factorització polinòmica per trobar solucions.

Suposem que tenim l'equació:

$2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=0$

Per factorització polinòmica tenim que en realitat és:

$(x-1)(x+1)(x+2)(2x-3)=0$

Sabem que una multiplicació és zero si i només si un dels multiplicands és zero, es a dir que:

o bé (x-1)=0, o bé (x+1)=0, o bé (x+2)=0, o bé (2x-3)=0 i no cal que ho siguin a la vegada.

Si (x-1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=1.

Si (x+1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-1.

Si (x+2)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-2.

Si (2x-3)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és $x=-{\frac {3}{2}}.$

i així es com trobarem les seves solucions.

Valoració de polinomis

Per valorar polinomis com si fos una funció només hem de canviar totes les x per el valor que es decideixi(tutorial).

Exemple: Suposem que volem valorar el polinomi $p(x)=2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6$ per x=0. Quin es el seu resultat?

$p(0)=2(0)^{4}+(0)^{3}-8(0)^{2}-(0)+6=0+0+0+6=6,$ per tant el resultat de valorar el polinomi en x=0 és 6.

Suposem ara que el valorem en x=2:

$p(2)=2(2)^{4}+(2)^{3}-8(2)^{2}-(2)+6=32+8-32-2+6=12,$ per tant el resultat de valorar el polinomi en x=2 és 6.

Veiem ara que passa si x=-2:

$p(-2)=2(-2)^{4}+(-2)^{3}-8(-2)^{2}-(-2)+6=32-8-32+2+6=0,$ per tant el resultat de valorar el polinomi en x=-2 és 0. D'això en diem

que el -2 és un zero del polinomi o també que -2 és arrel del polinomi.

Funció polinòmica

Degut al fet que donat un valor de x obtenim una valoració y d'un polinomi, podem presentar tot polinomi com a funció.

Exemple: