Proporcionalitat III

Breu recordatori sobre proporcionalitat de primer i segon d'ESO.

Proporcionalitat directa

Una regla de tres determina i és sempre una proporcionalitat directa, veiem exemples:

1) Es completa la taula següent que relaciona el preu amb les unitats comprades.

Euros	$\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$	Caixes
5 €	$\longmapsto$	2
10 €	$\longmapsto$	x
y	$\longmapsto$	8
z	$\longmapsto$	10

2) Es completa la taula següent que relaciona el preu amb els metres de fil comprats.

Euros	$\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$	Metres
2 €	$\longmapsto$	30 m
7 €	$\longmapsto$	x
y	$\longmapsto$	300
z	$\longmapsto$	1000 m

Regla de tres i l'àlgebra

Una regla de tres té associada una expressió algèbrica fàcil de resoldre, veiem aquest paral·lelisme:

Suposem que amb 2 € comprem 5 plàtans, llavor tenim:

Esquema de regla de tres

Euros	$\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$	Platans
2 €	$\longmapsto$	5
x €	$\longmapsto$	7
0 €	$\longmapsto$	0
40 €	$\longmapsto$	100

Visió algèbrica

${\frac {2}{x}}={\frac {5}{7}}$

Resolució

$x={\frac {2\cdot 7}{5}}$

Amb aquesta equivalència clarament podem fer el següent canvi per aïllar ràpidament la x i veure que és exactament la mateixa operació que amb regla de tres:

Euros	$\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$	Platans
x €	$\longmapsto$	7
2 €	$\longmapsto$	5

{\frac {x}{2}}={\frac {7}{5}}

x=2\cdot {\frac {7}{5}}=

{\frac {2\cdot 7}{5}}

S'observa que:

Per resoldre l'equació ${\frac {x}{2}}={\frac {7}{5}}$ només cal canviar de costat de la igualtat el 2 que divideix que passa la igualtat a multiplicar els ${\frac {7}{5}}.$

La resolució per regla de tres és exactament la mateixa que la resolució algèbrica.

L'equació equivalent per evitar divisions per zero és $x\cdot 5=2\cdot 7$ que surt de multiplicar en creu.

Representació

Exemples de representació i observacions típiques.

1) Comparem el nombre de treballadors i els diners gastats.

Suposem que un empresari paga als seus treballadors 1000 €.

taula+gràfic

2) Comparem els diners al banc i els interessos a 10 anys idealment.

Suposem que els interessos són del 20%:

taula+gràfic

Proporcionalitat inversa

Diem que la proporcionalitat inversa necessita un concepte o una dada fixada per determinar-la.

1) Suposem que es vol construir un únic mur de 10 metres de llarg i sabem que 2 operaris el farien en 5 hores, per tant.

Taula

Operaris	$\xrightarrow {\;\;\;\;\;\;}$	Temps
2 o	$\longmapsto$	5 h
1 o	$\longmapsto$	10 h
0 o	$\longmapsto$	Impossible
5 o	$\longmapsto$	2 h
10 o	$\longmapsto$	1 h

gràfic

2) Suposem que la distància de casa a la feina siguin 20 kilòmetres i volem comparar la velocitat i el temps utilitzat.