Sistemes d'equacions III

Els sistemes d'aquesta secció barregen equacions lineals, per tant, farem un petit recordatori i un anàlisi d'una equació amb 2 incògnites prèviament.

Equacions amb dues incògnites

Les equacions lineals amb una sola incògnita x poden tenir diversos tipus de solucions.

1) $2x+5=x+7$ $\;\;\Rightarrow \;\;2x-x=7-5$ $\;\;\Rightarrow \;\;x=2$ Per tant x té un valor com a única solució. 2) $x+5=x+7$ $\;\;\Rightarrow \;\;x-x=7-5$ $\;\;\Rightarrow \;\;0=2$ Per tant x no té cap valor com a solució. 3) $x+7=x+7$ $\;\;\Rightarrow \;\;x-x=7-7$ $\;\;\Rightarrow \;\;0=0$ Per tant x té qualsevol valor com a solució.

Ara les equacions són de dues incògnites:

1)

y=2+x

Existeixen molts valors de x i y que compleixen aquesta equació.
Taula per analitzar els diferents valors de l'equació: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -1 0 1 2 3 4 5 6	Representació de la taula amb coordenades:

Definició
	Una equació lineal amb dues incògnites és una condició que informa algebraicament de quina és la relació entre aquestes incògnites.

Per tant una equació lliga el comportament de totes les seves incògnites, aquestes equacions s'agrupen dins les equacions implícites.

Eines digitals d'ajuda per la representació.

GeoGebra Aplicació online. Aplicació intalable es recomana Clàssic 5. Symbolab online.

Sistemes d'equacions

Un sistema d'equacions és una agrupació d'equacions, observació del comportament del sistema següent:

${\begin{cases}y=2-x\\y=x+1\end{cases}}$

Taula de $y=2-x$ x -2 0 2 y 4 2 0

Taula de $y=x+1$ x -2 0 2 y -1 1 3

Representació conjunta

Interpretació

La primera equació ens diu que els valors x i y han de comportar-se com la recta taronja, és a dir, ens diu que els valors x i y han d'estar sobre la recta taronja.

La segona equació ens diu, que no!, que els valors x i y han de comportar-se com la recta blava, és a dir, ens diu que els valors x i y han d'estar sobre la recta blava.

Que és una solució d'aquesta baralla? Una solució es veure on estan d'acord les dues equacions i res més.

En resum, les dues equacions només estan d'acord en el punt on es tallen les dues rectes que és el punt (0'5,1'5) que és el mateix que dir x=0'5 i y=1'5.

Mètodes de resolució de sistemes

Els sistemes es poden resoldre principalment de 3 formes diferents. El menys utilitzat és d'igualació però és ocasionalment útil. El de substitució s'ha de tenir molt present ja que pot aparèixer en altres mètodes. El de reducció és el més treballat sobretot quan es tracten grans quantitats d'equacions lineals, els ordinadors tenen sistemes de càlcul molt especialitzats en aquestes equacions lineals ja que surten a totes les branques científiques i d'oci.

Mètode de substitució

Donada la equació ${\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases}}$

$1^{r}$) Aïllem una de les y.

Obtenim el comportament de una y en funció de x.

$\color {red}y\color {black}=3-x$

$2^{n}$) Substitució de y a la segona equació.

S'introdueix la primera equació dins l'altra, gràcies a que té la y aïllada, per tant obtenim una equació només amb x.

$x-\color {red}y\color {black}=1$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x-(3-x)=1$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x-3+x=1$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;2x=1+3$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x={\frac {4}{2}}$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\color {red}{\begin{array}{|c|}\hline \color {black}x=2\color {red}\\\hline \end{array}}$

$3^{r}$) Càlcul de y.

Es substitueix la x=2 a l'equació on la y està aïllada.

$y=3-x$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;y=3-(2)$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\color {red}{\begin{array}{|c|}\hline \color {black}y=1\color {red}\\\hline \end{array}}$

$4^{t}$) Comprovació.

Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los.

${\begin{cases}(2)+(1)=3\\(2)-(1)=1\end{cases}}$

Ja està acabat perquè el sistema original confirma que els valors trobats de x i y donen una igualtat certa.

Els tutorial pels sistemes següents aquí, on aïllen primer les x, només mireu el primer sistema de Susi, el segon sistema de Susi excedeix el nostre nivell.

1)${\begin{cases}x+3y=4\\2x-y=1\end{cases}}$

2)${\begin{cases}x-2y=-4\\3x+y=9\end{cases}}$ tutorial aquí

3)${\begin{cases}2x-5y=12\\3x+4y=-5\end{cases}}$ tutorial aquí, en català

4)${\begin{cases}x+6y=27\\7x-3y=9\end{cases}}$ tutorial aquí

Mètode de reducció

Donada la equació ${\begin{cases}\color {blue}2\color {black}x+3y=1\\\color {red}3\color {black}x-2y=1\end{cases}}$

$1^{r}$) Es fa coincidir les quantitats de x de les dues equacions.

Multipliquem entre elles el valor de x, però de vegades només cal multiplicar-ne o dividir-ne només una sense que surtin fraccions i surt ràpidament, assegureu-vos que queden iguals les quantitats de x.

Generalitzant es multipliquen les equacions pel número de x de l'altra equació.

${\begin{cases}\color {red}3\color {black}\cdot 2x+\color {red}3\color {black}\cdot 3y=\color {red}3\color {black}\cdot 1\\\color {blue}2\color {black}\cdot 3x-\color {blue}2\color {black}\cdot 2y=\color {blue}2\color {black}\cdot 1\end{cases}}$ $\;\;\;\Rightarrow \;\;\;{\begin{cases}6x+9y=3\\6x-4y=2\end{cases}}$

$2^{n}$) Es resta una equació de l'altra.

Es converteix la resta en suma canviant el signe del la equació restadora(subtrahend). Es pot restar directament però ens podem equivocar. La resta ha de donar un 0x altrament ens hem equivocat.

${\begin{array}{ccc}&6x&+9y&=3\\{\begin{array}{|c|}\hline -\\\hline \end{array}}&6x&-4y&=2\\\hline &&?\end{array}}$ $\Rightarrow \;\;{\begin{array}{ccc}&6x&+9y&=3\\{\begin{array}{|c|}\hline +\\\hline \end{array}}&-6x&+4y&=-2\\\hline &\color {red}0x\color {black}&+13y&=1\\\end{array}}$ $\Rightarrow \;\;13y=1$ $\Rightarrow \;\;y={\frac {1}{13}}$

$3^{r}$) Càlcul de x.

Es substitueix la y trobada a una de les equacions, la primera equació per exemple.

$6x-4(y)=2$ $\;\;\Rightarrow \;\;6x-4({\frac {1}{13}})=2$

Es multiplica per 13.

$13\cdot 6x-13\cdot 4({\frac {1}{13}})=13\cdot 2$ $\;\;\Rightarrow \;\;78x-4=26$ $\;\;\Rightarrow \;\;78x=26+4$ $\;\;\Rightarrow \;\;78x=30$ $\;\;\Rightarrow \;\;x={\frac {30}{78}}$ $\;\;\Rightarrow \;\;x={\frac {5}{13}}$

$4^{t}$) Comprovació.

Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los.

${\begin{cases}2({\frac {5}{13}})+3({\frac {1}{13}})=1\\3({\frac {5}{13}})-2({\frac {1}{13}})=1\end{cases}}$

Ja està acabat perquè el sistema original confirma que els valors trobats de x i y donen una igualtat certa.

Els tutorial pels sistemes següents aquí, al (1) i (3) redueixen Y però sortirà la mateixa solució, primer surt el valor de x i després el valor de y, i al (2) ho fan al invers.

1)${\begin{cases}4x+y=-3\\-3x+y=11\end{cases}}$

2)${\begin{cases}3x-2y=12\\x+5y=38\end{cases}}$

3)${\begin{cases}2x+3y=19\\5x-2y=0\end{cases}}$

Curiositat

Analitzem els sistemes estèrils

${\begin{cases}5x+y=1\\5x+y=1\end{cases}}$