Àlgebra i geometria IV

En aquesta secció farem primerament un paral·lelisme típic de la geometria i l'àlgebra.

En temps del Grecs només entenien multiplicació com a rectangle i així van arribar de fer un volum de feina enorme. En l'actualitat la introducció purament sintàctica del àlgebra millora i facilita l'ús de les fórmules més complexes.

Veiem primer la més senzilla:

Àrees de rectangles amb la mateixa altura

Mirant l'àrea es veu clarament la propietat distributiva, és a dir, distribueix l'alçada $a$ per a cada terme de la suma.

A=a\cdot (\;b+\;c+\;d+\;e\;)=a\cdot b+a\cdot c+a\cdot d+a\cdot e

Àrees de triangles amb la mateixa altura

Mirant l'àrea es veu clarament la propietat distributiva, és a dir, distribueix l'alçada $a,$ per a cada terme de la suma

A={\frac {a\cdot (b+c+d+e)}{2}}={\frac {a\cdot b}{2}}+{\frac {a\cdot c}{2}}+{\frac {a\cdot d}{2}}+{\frac {a\cdot e}{2}}

Quadrat d'una suma

Mirant l'àrea es veu clarament cada terme que surt de fer el quadrat d'una suma:

(x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}

Solució:

Es pot provar amb la propietat distributiva, on el primer parèntesis es distribueix dintre del segon parèntesis quedant:

(x+a)^{2}=(x+a)\cdot (x+a)

=(x+a)\cdot x+(x+a)a

=x^{2}+a\cdot x+x\cdot a+a^{2}

=x^{2}+2ax+a^{2}

Quadrat d'una diferencia

Mirant l'àrea de $x^{2}$ i visualitzant $(x-a)^{2}$ , veiem que de fet aquest quadradet s'obté sumant $x^{2}+a^{2}$ i després restant els rectangles associats a les parts dividides amb punts.