Aquest és un tema suficientment conegut com per fer una exposició oberta de tots els tipus d'arrels, orientat com a recordatori, però que servirà per reforçar els possibles oblits respecte aquest contingut.
Presentació:
a
{\displaystyle {\sqrt {a}}}
= arrel quadrada de a .
Definició: L'arrel quadrada de a és un valor real positiu r que compleix que
r
2
=
a
.
{\displaystyle r^{2}=a.}
Observació:
R
+
→
∙
R
+
0
0
=
0
1
1
=
1
4
4
=
2
100
100
=
10
0
,
01
0
,
01
=
0
,
1
250
000
250
000
=
500
{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {R} ^{+}&\xrightarrow {\sqrt {\,\,\bullet \,\,}} &\mathbb {R} ^{+}\\0&&{\sqrt {0}}=&0\\1&&{\sqrt {1}}=&1\\4&&{\sqrt {4}}=&2\\100&&{\sqrt {100}}=&10\\0,01&&{\sqrt {0,01}}=&0,1\\250\,000&&{\sqrt {250\,000}}=&500\end{matrix}}}
Presentació:
a
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}
= arrel cúbica de a .
Definició: L'arrel cúbica de a és un valor real r , que compleix que
r
3
=
a
.
{\displaystyle r^{3}=a.}
Observació:
R
→
∙
3
R
0
0
3
=
0
1
1
3
=
1
−
1
−
1
3
=
−
1
8
8
3
=
2
−
8
−
8
3
=
−
2
−
1000
−
1000
3
=
10
0
,
001
0
,
001
3
=
0
,
1
−
8000
−
8000
3
=
20
{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {R} &\xrightarrow {\sqrt[{3}]{\,\,\bullet \,\,}} &\mathbb {R} \\0&&{\sqrt[{3}]{0}}=&0\\1&&{\sqrt[{3}]{1}}=&1\\-1&&{\sqrt[{3}]{-1}}=&-1\\8&&{\sqrt[{3}]{8}}=&2\\-8&&{\sqrt[{3}]{-8}}=&-2\\-1000&&{\sqrt[{3}]{-1000}}=&10\\0,001&&{\sqrt[{3}]{0,001}}=&0,1\\-8000&&{\sqrt[{3}]{-8000}}=&20\end{matrix}}}
Presentació:
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
= arrel n-èsima de a .
Definició: L'arrel n-èsima de a és un valor real r si compleix que
r
n
=
a
.
{\displaystyle r^{n}=a.}
a
n
=
{
a
n
=
x
si
a
>
0
a
n
=
x
si
n
és imparell
∄
=
No existeix
a la resta de casos
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}={\begin{cases}{\sqrt[{n}]{a}}=x&{\text{ si }}a>0\\{\sqrt[{n}]{a}}=x&{\text{ si }}n{\text{ és imparell }}\\\nexists ={\text{ No existeix}}&{\text{ a la resta de casos }}\end{cases}}}
Observació: L'arrel n-èsima r , si existeix , té el mateix signe de a .
R
→
∙
n
R
a
x
{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {R} &\xrightarrow {\sqrt[{n}]{\,\,\bullet \,\,}} &\mathbb {R} \\a&&x\end{matrix}}}
Exemples
1).
1
100
=
1
{\displaystyle {\sqrt[{100}]{1}}=1}
3).
10000
4
=
10
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{10000}}=10}
4).
−
1
7
=
−
1
{\displaystyle {\sqrt[{7}]{-1}}=-1}
a
Índex
→
n
←
Radicand
↙
Radical
=
x
←
arrel
{\displaystyle {\sqrt[{{\text{Índex}}\rightarrow n}]{a}}_{\leftarrow {\text{Radicand}}}^{\swarrow {\text{Radical}}}=x\leftarrow {\text{arrel}}}
Exercicis
1).
−
27
3
=
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-27}}=}
2).
16
4
=
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{16}}=}
3).
16
=
{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {16}}\;}}=}
4).
32
5
=
{\displaystyle {\sqrt[{5}]{32}}=}
5).
64
6
=
{\displaystyle {\sqrt[{6}]{64}}=}
6).
64
3
=
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt {64}}\;}}=}
7).
100
000
000
8
=
{\displaystyle {\sqrt[{8}]{100\,000\,000}}=}
8).
−
125
3
=
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-125}}=}
9).
10
7
7
=
{\displaystyle {\sqrt[{7}]{10^{7}}}=}
10).
100
000
000
=
{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {100\,000\,000}}\;}}\;}}=}
11).
0
,
01
=
{\displaystyle {\sqrt {0,01}}=}
12).
0
,
0001
=
{\displaystyle {\sqrt {0,0001}}=}
13).
64
000
000
3
=
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\sqrt {64\,000\,000}}}=}
14).
10
14
7
=
{\displaystyle {\sqrt[{7}]{10^{14}}}=}
Per poder treballar directament sobre les propietats suposarem que no es pot reduir l'ultim quadrat de
(
−
a
)
2
=
a
{\displaystyle {\sqrt {\,(-a)^{2}\,}}=a}
si a > 0 perquè no dona el resultat correcte, ni de
−
a
2
{\displaystyle {\sqrt {\,-a\,}}^{\,2}}
amb a > 0 perquè inicialment no existeix, aquesta darrera en cursos superiors es podrà fer contextualment.
Notació
a
n
=
a
1
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\,a\,}}=a^{\frac {1}{n}}}
a
n
m
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\,a\,}}^{\,m}}
=
(
a
1
n
)
m
{\displaystyle =\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}}
=
a
m
n
{\displaystyle =a^{\frac {m}{n}}}
a
m
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\,\,a^{m}\,\,}}}
=
(
a
m
)
1
n
{\displaystyle =\left(a^{m}\right)^{\frac {1}{n}}}
=
a
m
n
{\displaystyle =a^{\frac {m}{n}}}
I la fracció
m
n
{\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}
de l'exponent es pot reduir si cal.
a
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\,a\,}}^{\,n}}
=
a
n
n
{\displaystyle ={\sqrt[{n}]{\,\,a^{n}\,\,}}}
=
a
n
n
=
a
1
=
a
.
{\displaystyle =a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a.}
a
m
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\,{\sqrt[{m}]{\,a\,}}\,}}}
=
(
a
1
m
)
1
n
{\displaystyle =\left(a^{\frac {1}{m}}\right)^{\frac {1}{n}}}
=
a
1
m
⋅
1
n
{\displaystyle =a^{{\frac {1}{m}}\cdot {\frac {1}{n}}}}
=
a
1
n
⋅
m
{\displaystyle =a^{\frac {1}{n\cdot m}}}
=
a
n
⋅
m
.
{\displaystyle ={\sqrt[{n\cdot m}]{\,a\,}}.}
Propietats
a
⋅
b
n
=
a
n
⋅
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}}
(
a
⋅
b
)
1
n
=
a
1
n
⋅
b
1
n
{\displaystyle (a\cdot b)^{\frac {1}{n}}=a^{\frac {1}{n}}\cdot b^{\frac {1}{n}}}
a
n
⋅
a
m
=
a
n
⋅
m
m
+
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{m}]{a}}={\sqrt[{n\cdot m}]{\,\,a\,\,}}^{\,m+n}}
a
1
n
⋅
a
1
m
=
a
1
n
+
1
m
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}\cdot a^{\frac {1}{m}}=a^{{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}}}
a
b
n
=
a
n
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}
(
a
b
)
1
n
=
a
1
n
b
1
n
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{\frac {1}{n}}={\frac {a^{\frac {1}{n}}}{b^{\frac {1}{n}}}}}
a
n
a
m
=
a
n
⋅
m
m
−
n
{\displaystyle {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{\,\,a\,\,}}^{\,m-n}}
a
1
n
a
1
m
=
a
1
n
−
1
m
{\displaystyle {\frac {a^{\frac {1}{n}}}{a^{\frac {1}{m}}}}=a^{{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}}}