Equacions de segon grau IV

L'objectiu principal per a les equacions de segon grau es l'aplicació de la seva fórmula per fer les resolucions ràpides.

Introducció

Veiem com apareixen les equacions de segon grau, amb un exemple que es veu a ull.

Suposem que ens demanen el següent:

En multiplicar dos nombres dona 2, i fent la suma surt 3. Llavors diuen ¿ de quins dos nombres es tracta ?

Encara que es veu a simple vista, el procediment matemàtic és:

$\left.{\begin{array}{rl}a+b&=3\\a\cdot b&=2\end{array}}\right\}$

Un intent per resoldre'l 1) Aïllar una de les incògnites la que vulguem on vulguem, per exemple: $b=3-a$ 2) Substituïm aquest equació ¡dins! de la següent equació: $a\cdot \overbrace {b} ^{3-a}=2\Rightarrow a\cdot (3-a)=2$ $\Rightarrow a\cdot 3-a\cdot a=2$ $\Rightarrow 0=a^{2}-3a+2$ Finalment dona l'equació de segon grau i, per tant, necessitem un nou mètode per poder aïllar la "a".

Recordatori

Si ens donen una equació com $x^{2}=2$ hem de saber que del quadrat poden ¡néixer! dues arrels, es com moure el quadrat a l'altre cantó de la iguatat.

$x^{2}=2$ $\Rightarrow x=\pm {\sqrt {2}}$

Equació de segon grau

Direm que una equació és de segon grau si equival a igualar un polinomi de grau dos a zero.

$ax^{2}+bx+c=0$

Per aïllar la "x" en aquest cas s'utilitza una fórmula que es pot deduir amb molts passos:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Demostració Primerament fem els següents passos, alguns són estètics: $ax^{2}+bx+c=0$ $\Rightarrow ax^{2}+bx=-c$ Multipliquem per $-4a$ a tots els termes: $\Rightarrow 4a\cdot ax^{2}+4a\cdot bx=-4a\cdot c$ $\Rightarrow 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac$ L'ultim pas ha sigut afegir un element, $b^{2}$, només per poder usar el producte notable $(y+b)^{2}=y^{2}+2by+b^{2}$, d'això se'n diu mètode de quadratura i la $y=2ax$: $\Rightarrow 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac$ $\Rightarrow (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac$ Finalment ja podem aïllar completament la "x" i, per tant, resulta la fórmula inicial. $2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$ $\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Exemples resolts

Els següents exemples porten dreceres per fer-les més ràpidament. Per que pugueu fer la vostra comparativa, faré una resolució aplicant la fórmula i després una resolució amb una drecera que haureu d'analitzar, entendre i utilitzar-la.

1) Calculeu els valors de "x" que compleixen l'equació $x^{2}+x=0.$

El primer pas, que es pot saltar, és identificar les 3 lletres de la fórmula

$\underbrace {1} _{a}x^{2}\,\underbrace {+1} _{b}\,x\,\underbrace {+0} _{c}=0.$

Ara ja podem substituir a la fórmula els tres valors trobats:

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot 0}}}{2\cdot 1}}$ $\Rightarrow x={\frac {-1\pm {\sqrt {1}}}{2}}$ $\Rightarrow x={\frac {-1\pm 1}{2}}$ $\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rl}x=&-1\\x=&0\end{array}}\right.$

Drecera

$x^{2}+x=0$ fent factor comú "x" podem convertir-lo en $x\cdot (x+1)=0$ i per tant $\left\{{\begin{array}{rl}x=&-1\\x=&0\end{array}}\right.$

2) Calculeu els valors de "x" que compleixen l'equació $x^{2}-16=0.$

El primer pas, que es pot saltar, és identificar les 3 lletres de la fórmula:

$\underbrace {1} _{a}\,x^{2}\,\underbrace {+0} _{b}\,x\,\underbrace {-16} _{c}=0.$

Ara ja podem substituir a la fórmula els tres valors trobats:

$x={\frac {-0\pm {\sqrt {0^{2}-4\cdot 1\cdot (-16)}}}{2\cdot 1}}$ $\Rightarrow x={\frac {0\pm {\sqrt {0+(+4)\cdot (+16)}}}{2}}$ $\Rightarrow x=\pm {\frac {{\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {16}}}{2}}$ $\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rl}x=&-4\\x=&+4\end{array}}\right.$

Drecera

$x^{2}-16=0$ $\Rightarrow x^{2}=+16$ $\Rightarrow x=\pm {\sqrt {16}}$ $\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rl}x=&-4\\x=&+4\end{array}}\right.$

Exercicis

Resoleu quan es pugui:

1) $x^{2}+x-2=0$

2) $x^{2}-3x+2=0$

3) $2x^{2}-x-8=0$

4) $x^{2}-16=0$

5) $3x^{2}+9x=0$

6) $x^{2}+5x+6=0$

7) $x^{2}+6x+9=0$

8) $x^{2}+29x-30=0$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO