Exercicis d'arrels IV

Pàgina acumulativa d'exercicis d'arrels per a 4t ESO. Sempre reduïu les fraccions quan es pugui.

Exercicis

Recull d'exercicis per treballar a classe i a casa.

La notació

${\sqrt[{n}]{a}}^{\,m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$ si $a>0.$

Fórmules

${\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Recordatori

• Si no hi ha índex, vol dir que és dos: ${\sqrt {342874}}={\sqrt[{2}]{342874}}$

• Si l'índex i la potència són iguals i $a>0$ llavors ratllem per anul·lar tots dos: ${\sqrt[{n}]{a}}^{\,n}={\sqrt[{n}]{a^{\,n\,}}}={\sqrt[{\cancel {n}}]{a^{\cancel {n}}}}=a$

• Per extreure valors d'una arrel:

• Descompondre el nombre que hi ha dintre en factors primers.

• Agrupar potències de mateixa base independentment de l'índex.

Al numerador mirem d'extreure valors múltiples d'aquest índex, el mètode més ràpid és: ${\frac {m}{n}}=q+{\frac {r}{n}}$ ve de la divisió entera ${\begin{array}{rc}m&{\begin{array}{|c}n\\\hline \end{array}}\\r&q\\\end{array}}$ ${\sqrt[{n}]{3^{m}}}=3^{q}{\sqrt[{n}]{3^{r}}}$

Al denominador es pot aplicar el mateix mètode ràpid anterior una mica modificat: ${\frac {m}{n}}=q+{\frac {r}{n}}$ ve de la divisió entera ${\begin{array}{rc}m&{\begin{array}{|c}n\\\hline \end{array}}\\r&q\\\end{array}}$ ${\frac {1}{\sqrt[{n}]{3^{m}}}}={\frac {\sqrt[{n}]{3^{n-r}}}{3^{q+1}}}$

Exemple de feina que es vol evitar

${\sqrt[{3}]{\frac {5^{17}}{2^{20}}}}=$ ${\sqrt[{3}]{\frac {5^{15}\cdot 5^{2}\cdot 2^{1}}{2^{20}\cdot 2^{1}}}}$

En aquest exemple s'ha tret $5^{2}$ de $5^{17}$ i s'ha afegit un dos, però un pel numerador i un altre pel denominador. Repartim l'arrel gran a arrels petites:

${\sqrt[{3}]{\frac {5^{15}\cdot 5^{2}\cdot 2^{1}}{2^{21}}}}=$ ${\frac {{\sqrt[{3}]{5^{15}}}\cdot {\sqrt[{3}]{5^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{1}}}}{\sqrt[{3}]{2^{21}}}}=$ ${\frac {5^{5}\cdot {\sqrt[{3}]{5^{2}\cdot 2^{1}}}}{2^{7}}}$

I ja hem acabat ja que no es pot reduir més.

Exercicis

Fixeu-vos que els passos formen part de l'explicació, a vegades es veuen redundàncies, però és perquè es vegi l'origen del que sembla ja intuïtiu:

1) Extreu artesanalment el màxim de valors de dins de l’arrel:
a) ${\sqrt {8}}$ $={\sqrt {2^{3}}}$ $={\sqrt[{2}]{2^{2}\cdot 2^{1}}}$ $={\sqrt[{2}]{2^{2}}}\cdot {\sqrt[{2}]{2^{1}}}$ $=2{\sqrt {2}}$ b) ${\sqrt[{3}]{8}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{3}}}$ $=2^{\frac {3}{3}}$ $=2^{1}=2$ c) ${\sqrt {2048}}$ $={\sqrt {2^{11}}}$ $={\sqrt {2^{10}\cdot 2^{1}}}$ $=2^{\frac {10}{2}}\cdot {\sqrt {2}}$ $=2^{5}{\sqrt {2}}$ d) ${\sqrt[{3}]{2048}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{11}}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{9}\cdot 2^{2}}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{9}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ $=2^{\frac {9}{3}}\cdot {\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ $=2^{3}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ e) ${\sqrt[{5}]{2048}}$ $={\sqrt[{5}]{2^{11}}}$ $={\sqrt[{5}]{2^{10}\cdot 2^{1}}}$ $=2^{\frac {10}{5}}\cdot {\sqrt[{5}]{2}}$ $=2^{2}{\sqrt[{5}]{2}}$ f) ${\sqrt[{7}]{2048}}$ $={\sqrt[{7}]{2^{11}}}$ $={\sqrt[{7}]{2^{7}\cdot 2^{4}}}$ $={\sqrt[{7}]{2^{7}}}\cdot {\sqrt[{7}]{2^{4}}}$ $=2^{\frac {7}{7}}\cdot {\sqrt[{7}]{2^{4}}}$ $=2{\sqrt[{7}]{2^{4}}}$ g) ${\sqrt[{11}]{2048}}$ $={\sqrt[{11}]{2^{11}}}=2$ h) ${\sqrt[{3}]{2^{46}}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{3\cdot 15}\cdot 2^{1}}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{3\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{3}]{2}}$ $=2^{15}{\sqrt[{3}]{2}}$ ${\begin{array}{rl}46&{\begin{array}{|c}3\\\hline \end{array}}\\1&15\\\end{array}}$ llavors $\uparrow 46=3\cdot 15+1$	i) ${\sqrt[{4}]{3^{500}}}$ $=3^{\frac {500}{4}}$ $=3^{125}$ j) ${\sqrt[{6}]{2^{7}\cdot 3^{9}}}$ $={\sqrt[{6}]{2^{6}\cdot 3^{6}\cdot 2^{1}\cdot 3^{3}}}$ $={\sqrt[{6}]{2^{6}}}\cdot {\sqrt[{6}]{3^{6}}}\cdot {\sqrt[{6}]{2^{1}\cdot 3^{3}}}$ $=2\cdot 3\cdot {\sqrt[{6}]{2^{1}\cdot 3^{3}}}$ k) ${\sqrt {a^{2}\cdot b^{100}\cdot n^{200}}}$ $=\left(a^{2}\cdot b^{100}\cdot n^{200}\right)^{\frac {1}{2}}$ $=a^{\frac {2}{2}}\cdot b^{\frac {100}{2}}\cdot n^{\frac {200}{2}}$ $=a^{1}\cdot b^{50}\cdot n^{100}$ l) ${\sqrt {a^{2\cdot 8}}}$ $=\left(a^{2\cdot 8}\right)^{\frac {1}{2}}$ $=a^{\frac {2\cdot 8}{2}}$ $=a^{8}$ m) ${\sqrt {a^{2\cdot 1000}}}$ $=a^{\frac {2\cdot 1000}{2}}$ $=a^{1000}$ n) ${\sqrt {a^{2\cdot n}}}$ $=a^{\frac {2\cdot n}{2}}$ $=a^{n}$ o) ${\sqrt[{n}]{a^{3\cdot n}}}$ $=a^{\frac {3\cdot n}{n}}$ $=a^{3}$
2) Passa a potències d'exponent fraccionari, redueix i després torna a posar-ho amb arrels o amb una sola arrel quan es pugui:
a) ${\sqrt[{n}]{3241^{n{\phantom {1}}}}}$ $=3241^{\frac {n}{n}}$ $=3241^{1}$ $=3241$ b) ${\sqrt[{6}]{2^{2}}}$ $=2^{\frac {2}{6}}$ $=2^{\frac {1}{3}}$ $={\sqrt[{3}]{2}}$ c) ${\sqrt[{6}]{2^{3}}}$ $=2^{\frac {3}{6}}$ $=2^{\frac {1}{2}}$ $={\sqrt {2}}$ d) ${\sqrt[{6}]{2^{4}}}$ $=2^{\frac {4}{6}}$ $=2^{\frac {2}{3}}$ $={\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ e) ${\sqrt[{30}]{2^{42}}}$ $=2^{\frac {42}{30}}$ $=2^{\frac {21}{15}}$ $=2^{\frac {7}{5}}$ $={\sqrt[{5}]{2^{7}}}$ f) ${\sqrt[{n}]{2^{2\cdot n}}}$ $=2^{\frac {{\cancel {n}}\cdot 2}{\cancel {n}}}$ $=2^{2}$	g) ${\sqrt[{3}]{\frac {2^{7}}{2^{4}}}}$ $=\left(2^{7-4}\right)^{\frac {1}{3}}$ $=\left(2^{3}\right)^{\frac {1}{3}}$ $=2^{\frac {3}{3}}$ $=2^{1}=2$ h) ${\sqrt[{5}]{\frac {2^{34}}{2^{59}}}}$ $=\left(2^{34-59}\right)^{\frac {1}{5}}$ $=\left(2^{-25}\right)^{\frac {1}{5}}$ $=2^{\frac {-25}{5}}$ $=2^{-5}$ $={\frac {1}{2^{5}}}$ i) ${\frac {\sqrt[{3}]{60}}{\sqrt[{5}]{60}}}$ $={\frac {60^{\frac {1}{3}}}{60^{\frac {1}{5}}}}$ $=60^{{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}}$ $=60^{\frac {2}{15}}$ $={\sqrt[{15}]{60^{2}}}$ Observació: $60=2^{2}\cdot 3\cdot 5$.
3) Redueix el màxim possible els següents exercicis proposats: (hi ha passos que es poden saltar NO TOTS)
a) ${\sqrt[{6}]{{\sqrt[{5}]{4\;}}^{\;2}\;}}$ $=\left(\left(4^{\frac {1}{5}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{6}}$ $=4^{{\frac {1}{5}}\cdot 2\cdot {\frac {1}{6}}}$ $=4^{\frac {2}{30}}$ $=4^{\frac {1}{15}}$ $={\sqrt[{15}]{4}}$ b) ${\sqrt[{33}]{{\sqrt[{5}]{5^{\;33}\;}}^{\;3}\;}}$ $=\left(\left(\left(5^{33}\right)^{\frac {1}{5}}\right)^{3}\right)^{\frac {1}{33}}$ $=5^{33\cdot {\frac {1}{5}}\cdot 3\cdot {\frac {1}{33}}}$ $=5^{\frac {{\cancel {33}}\cdot 3}{5\cdot {\cancel {33}}}}$ $=5^{\frac {3}{5}}$ $={\sqrt[{5}]{5^{3}}}$ c) ${\frac {2^{20}\cdot {\sqrt[{6}]{2^{2}}}}{2^{50}\cdot {\sqrt[{4}]{2^{3}}}}}$ $={\frac {2^{20-50}\cdot {2^{\frac {2}{6}}}}{2^{\frac {3}{4}}}}$ $=2^{-30}\cdot 2^{\frac {2}{6}}\cdot 2^{-{\frac {3}{4}}}$ $=2^{-30+{\frac {2}{6}}-{\frac {3}{4}}}$ $=2^{\frac {-30\cdot 12+2\cdot 2-3\cdot 3}{12}}$ $=2^{\frac {-360+4-9}{12}}$ $=2^{\frac {-365}{12}}$ $=2^{-30-{\frac {5}{12}}}$ $=2^{-30-1+1-{\frac {5}{12}}}$ $=2^{-31+{\frac {12-5}{12}}}$ $=2^{-31+{\frac {7}{12}}}$ $={\frac {\sqrt[{12}]{2^{7}}}{2^{31}}}$ Amb el $mcm(6,4)=12$.	d) ${\sqrt[{7}]{{\sqrt[{3}]{5^{\;21}\;}}^{\;2}\;}}$ $=5^{\frac {21\cdot 2}{7\cdot 3}}$ $=5^{2}$ e) ${\frac {{\sqrt[{4}]{a^{20}}}\cdot a^{2}\cdot {\sqrt[{7}]{a^{21}}}}{{\sqrt[{25}]{a^{50}}}\cdot {\sqrt[{45}]{a^{9}}}\cdot {\sqrt[{4}]{a^{2}2^{8}}}}}$ $={\frac {a^{\frac {20}{4}}\cdot a^{2}\cdot a^{\frac {21}{7}}}{a^{\frac {50}{25}}\cdot a^{\frac {9}{45}}\cdot \left(a^{\frac {2}{4}}\cdot 2^{\frac {8}{4}}\right)}}$ $={\frac {a^{5}\cdot {\cancel {a^{2}}}\cdot a^{3}}{{\cancel {a^{2}}}\cdot a^{\frac {1}{5}}\cdot a^{\frac {1}{2}}\cdot 2^{2}}}$ $={\frac {a^{5}\cdot a^{3}\cdot a^{-{\frac {1}{5}}}\cdot a^{-{\frac {1}{2}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{5+3-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{2}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{7+1-{\frac {7}{10}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{7+{\frac {3}{10}}}}{2^{2}}}$ $={\frac {a^{7}{\sqrt[{10}]{a^{3}}}}{2^{2}}}$

Racionalització

Aquestes són les principals o úniques simplificacions que trobarem. La primera intenta anul·lar una arrel de qualsevol tipus al denominador. La segona només serveix per a arrels quadrades i en realitat és particular però útil. Ambdues propietats es poden demostrar fàcilment a partir de les anteriors.

L'objectiu és que al denominador no hi hagi arrels, perquè les arrels produeixen errors de càlcul que són amplificades per les divisions.

Fórmules

${\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{\,m}}}}={\frac {a\cdot {\sqrt[{n}]{b^{\,n-m}}}}{{\sqrt[{n}]{b^{\,m}}}\cdot {\sqrt[{n}]{b^{\,n-m}}}}}={\frac {a\cdot {\sqrt[{n}]{b^{\,n-m}}}}{b}}$

${\frac {a\,}{{\sqrt {b\,}}\pm {\sqrt {c\,}}}}={\frac {a\cdot ({\sqrt {b\,}}\mp {\sqrt {c\,}})}{({\sqrt {b\,}}\pm {\sqrt {c\,}})({\sqrt {b\,}}\mp {\sqrt {c\,}})}}={\frac {a\cdot ({\sqrt {b\,}}\mp {\sqrt {c\,}})}{b-c}}$

Exemples

1) Racionalitza al màxim simplificant sempre que es pugui.

a) ${\frac {1}{\sqrt {5}}}$ $={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}$ $={\frac {1\cdot {\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}^{2}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}$ $={\frac {\sqrt {5}}{5}}$

b) ${\frac {11}{\sqrt {11}}}$

c) ${\frac {\sqrt {20}}{\sqrt {5}}}$

d) ${\frac {\sqrt {10}}{\sqrt {15}}}$

e) ${\frac {7\cdot {\sqrt {31}}}{{\sqrt {31}}\cdot {\sqrt {7}}}}$

f) ${\frac {{\sqrt {15}}\cdot {\sqrt {21}}}{{\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {2}}}}$

g) ${\frac {{\sqrt {5}}+2}{{\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {2}}}}$

h) ${\frac {{\sqrt {7}}+{\sqrt {42}}}{{\sqrt {27}}\cdot {\sqrt {7}}}}$

i) ${\frac {{\sqrt {1}}-{\sqrt {21}}}{{\sqrt {21}}\cdot {\sqrt {8}}}}$

Exercicis combinats

1) Simplifica al màxim les expressions següents.

a) ${\sqrt[{3}]{\frac {\sqrt {10\cdot {\sqrt {16}}\cdot 20}}{\sqrt {16}}}}$

b) ${\sqrt {\frac {\sqrt {{\sqrt {\sqrt {10000}}}\cdot 5\cdot {\sqrt {5}}\cdot 15}}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {2^{8}}}}}}}$

c) ${\sqrt {\frac {\sqrt {5\cdot 2^{7}}}{\sqrt {10^{5}}}}}$

2) Calcula les fraccions donades, recordant que s'ha de racionalitzar sempre i desfent tots els parèntesis.

a) ${\frac {\frac {1-{\sqrt {3}}}{\sqrt {5}}}{\frac {1-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {5}}-{\sqrt {15}}}}}$

b) ${\frac {\frac {1-{\sqrt {5}}}{\sqrt {7}}}{{\frac {1+{\sqrt {5}}}{7}}+1}}$

c) $...$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO