Factorització de polinomis IV

Aquesta secció tracta de factoritzar polinomis, es a dir, convertir-lo en un producte de binomis i monomis amb diversos mètodes.

Quina de les següents expressions és millor?

$P(x)=x(x+2)(x-3)(x+1)(x-1)(x+1)(x+1)$ $=x^{7}+x^{6}-8x^{5}-14x^{4}+x^{3}+13x^{2}+6x$

És millor la primera expressió perquè, com és un producte de binomis i monomis, té tots els zeros exposats, és a dir, les solucions per veure on s'anul·la P(x) es veuen a simple vista estalviant temps en resoldre-la.

$P(x)=0$ sempre que el valor $x\in \{0,-2,3,-1,1\}$

En canvi, en la segona expressió els zeros estan amagats com a múltiples del terme sense x, anomenat terme independent, o també terme de menor grau que és el coeficient 6.

-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6.

Per resoldre equacions del tipus $P(x)=0$ poden sortir equacions de primer grau, de segon grau completes i incompletes, també necessitarem un mètode de recerca com Ruffini que ajuda sempre i quan el polinomi estigui ben arreglat per ser resolt amb facilitat.

Divisió

La divisió directa de polinomis és útil per a situacions on els dos polinomis arbitraris són divisibles i altres situacions que no es veuen en aquest curs.

El algoritme és el mateix que el de la divisió que es fa amb decimals.(En construcció)

Ruffini

Passos per veure com funciona Ruffini aplicat a la segona expressió de l'exemple introductori:

Pas 1

S'ha de fer una llista ordenada dels coeficients ordenat per fer un Ruffini introduint zeros allà on no hi ha un coeficient, si acaba en zero vol dir que ens hem oblidat de treure un factor comú de x:

${\begin{array}{c|ccccccc}&1&1&-8&-14&1&13&6\\Multiplicador&\\\hline &&&&&&&&\uparrow {\text{ Recta de suma }}\end{array}}$

Pas 2

S'ha de cerca els divisors del terme independent 6 i escollir els més adequats per anar provant, només cal fer la descomposició en factors primers, $6=3\cdot 2,$ i anar fent combinacions:

-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 i 6.

Pas 3

Situar el divisor com el -2 al lloc de multiplicador, la seva funció és exclusivament multiplicar.

• El significat d'això és equivalent a dividir el polinomi original per (x + 2).

• Per defecte el significat del valor residu coincideix amb el valor de P(-2), per tant és també un mètode per valorar un polinomi.

Així es pot extreure un zero del polinomi. Pot quedar més zeros d'aquest tipus x = -2.

${\begin{array}{c|ccccccc}&1&1&-8&-14&1&13&6\\-2&\\\hline &1\end{array}}$

El primer terme del polinomi el baixem, en aquest cas l'1.

Pas 4

Hauríem de provar cada terme del pas 2 fins que el residu sigui zero, per tant fem Ruffini successivament. En aquest exemple pensem que després d'una cerca hem mirat quins valors dona residu zero, per tant, deixo l'operació bona:

${\begin{array}{r|ccccccc}&1&1&-8&-14&1&13&6\\-2&&-2&2&12&4&-10&-6\\\hline &1&-1&-6&-2&5&3&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\3&&3&6&0&-6&-3\\\hline &1&2&0&-2&-1&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\1&&1&3&3&1\\\hline &1&3&3&1&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\-1&&-1&-2&-1\\\hline &1&2&1&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\-1&&-1&-1\\\hline &1&1&{\begin{array}{|c}0\\\hline \end{array}}\\\end{array}}$

S'ha acabat de fer la descomposició ara només cal reconstruir el producte de binomis directament de la primera columna més l'ultim binomi de Ruffini:

$(x+2)(x-3)(x-1)(x+1)(x+1)(x+1)$

Tutorial semblant però que comença per valors petits

• Descomposició d'un polinomi amb arrels enteres

Concepte de factorització

Al igual que $60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5.$

Es vol transformar els polinomis en un producte de binomis de primer grau, com segueix:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=(b_{1}x+c_{1})\cdot (b_{2}x+c_{2})\cdot ...\cdot (b_{n}x+c_{n}).$

El mètode de Ruffini es capaç de fer una factorització, si existeix, del tipus:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=(x+c_{1})\cdot (x+c_{2})\cdot ...\cdot (x+c_{n-1})\cdot (bx+c_{n}).$

Però el polinomi han d'estar molt ben preparats sinó es pot quedar a mig camí en el millor des casos.

Observació

Perquè $a_{0}=c_{1}\cdot c_{2}\cdot ...\cdot c_{n-1}\cdot c_{n}$ ?

Provem de fer la multiplicació $(x+a)(x+b)(x+c)$ a veure com es comporta, primer els dos primers:

${\big (}(x+a)(x+b){\big )}(x+c)$ $={\big (}x^{2}+(a+b)x+a\cdot b{\big )}(x+c)$ $=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ac)x+(a\cdot b\cdot c)$

Ara es veu clarament que el terme independent és el producte de les arrels canviades de signe $a\cdot b\cdot c.$

Exercicis

Exemples

1) Donat el polinomi $P(x)=x^{3}-9x+2x^{2}-18$ efectua les divisions següents per Ruffini:

a) ${\frac {P(x)}{x+2}}=Q(x)$

b) ${\frac {Q(x)}{x-3}}$

2) Donat el polinomi següents s'ha d'efectuar la factorització amb Ruffini.

a) $P(x)=x^{3}-9x+2x^{2}-18$

Solució: 2, -2 i -3, i per tant $P(x)=(x-2)\cdot (x+2)\cdot (x+3)\cdot (x+2).$

b) $P(x)=3x^{4}+5x^{3}-17x^{2}-13x+6$

Solució: 2, -3, -1 i 1/3, i per tant $P(x)=(3x-1)\cdot (x-2)\cdot (x+3)\cdot (x+1).$

c) $P(x)=x^{5}+x^{4}-3x^{3}-3x^{2}-4x-4$

Solució: -1, 2 i -2 amb un polinomi no factoritzable amb nombres reals

3) Construeix un polinomi amb els zeros -2, +2, -5 i +5 i aplica Ruffini per comprovar que estigui ben fet.

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO