Inequacions fraccionàries IV

Operacions:
Si

Si

Si

Si

Secció per treballar les inequacions fraccionàries a la vegada que la representació sobre la recta real i la seva extensió a dos variables.

S'utilitzen taules de signes per fer l'esquema gràfic, només com a procediment pedagògic per avaluar ja que s'ha de preveure el funcionament i comportament dels signes. Fora d'aquesta secció i amb la seva experiència es pot simplificar tant com es vulgui o directament fer l'esquema de representació inclús amb altres tipus d'inequacions.

Per netedat de llenguatge algebraic ens referirem als punts com per tant aquestes lletres, x i y, només seran incògnites. Per referir-nos funcions en general utilitzarem

Introducció

edit

Hi ha 4 possibles exemples d'inequacions amb diverses funcions   que s'ha de comparar amb rigor. En cas d'una inequació amb dos incògnites assegureu-vos que la incògnita y estigui ben aïllada.

1)  

 

2)  

 

3)  

 

4)  

 

Exemples

edit

Inequacions lineals

edit

Les inequacions lineals són del tipus   i els seus zeros o arrels són    

 

Aquestes inequacions divideixen el pla coordenat en dues parts anomenats semiplans.

Per més detall es pot llegir Inequacions lineals.

Amb dos incògnites

edit
1) Donat   es farà la taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.
Taula de signes
  • Busquem el zero de   és a dir     llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present.
  • Els signes desconeguts es calculen fent assaig amb valors hipotètics:
Més petit que   com el -2, i calculant surt 3(-2)+2=-4 és negatiu.
Més grans que   com el 0, i calculant surt 3(0)+2=2 és positiu.
Zeros  
    - 0 +
Esquema de representació

 

2) Donat   es farà la taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.
Taula de signes
  • Busquem el zero de   és a dir     llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present.
Zeros  
    - 0 +
Esquema de representació
3) Donat   es farà la taula de signes i després l'esquema de representació per esbrinar la regió que descriu.
Taula de signes
  • Busquem el zero de   és a dir     llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present.
Zeros  
    + 0 -
Esquema de representació

Amb una incògnites

edit
1) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació
 
Per simplificar denominadors, o bé multipliquem pel mcm(3,5)=15 o bé equivalentment fem denominador comú mcm(3,5) tot seguit operem, fem la propietat distributiva i agrupem termes semblants:
             
Interval o semirecta

 

Gràfic
 
   
2) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació
 
mcm(2,3)=6

           

Interval o semirecta

 

Gràfic
 
   
3) S'ha de trobar el valor d'x que compleix l'inequació
 
mcm(18,6,9)=18

             

Interval o semirecta

 

Gràfic
 
   

Inequacions fraccionaries

edit

Aquí es presenten les inequacions no lineals procedents de polinomis.

Amb dos incògnites

edit

Amb una incògnita

edit

1) Troba els valors de x tals que  

Resolució
Es canvia el zero per   i es factoritzen els polinomis de grau major que 1, si es pot, en aquest cas:
 
Taula
Hem de considerar la fracció com a producte dels seus elements lineals
 
Zeros -2 -1 0 1 2
-1   - - - 0 + + + + + + +
1   - - - - - - - 0 + + +
0   - - - - -   + + + + +
-2   -   + + + + + + + + +
2   - - - - - - - - -   +
  -   + 0 -   + 0 -   +
Esquema de representació
 
Valors que pot prendre la x per aquesta inequació

Per deduir la x s'ha de mirar si l'eix x, el d'abscisses o l'horitzontal, i veure si està pintat.

 

2) Troba els valors de x tals que  

Resolució
Es canvia el zero per   i es factoritzen els polinomis de grau major que 1, si es pot, en aquest cas:
 
Taula
Zeros 0 1 2
0   - 0 + + + + +
2   - - - - - 0 +
1   - - -   + + +
1   - - -   + + +
  + 0 -   - 0 +
Esquema de representació
 
Valors que pot prendre la x per aquesta inequació

Per deduir la x s'ha de mirar si l'eix x i veure si està pintat.

 

Si la mateixa inequació fos   llavors  

Exercicis

edit