Havíem vist les derivades com la funció pendent d'una funció f, és a dir, que podíem calcular-la com un límit
També es pot escriure substituint s per x+h:
Podem canviar el límit per la notació molt més utilitzada:
Integrar és fer el contrari, és a dir, exclusivament de les pendents volem trobar la funció. Com sabeu, a partir del pendent no podem construir la recta tangent, perquè necessitem la altura del punt de tangencia que manca, de fet si trobem aquest valor en un punt concret llavors sabrem trobar la funció. Vegem l'exemple d'una funció en verd i la seva integral en blau deduïda a partir del valor de la funció i vegem també que podem començar la integral desde qualsevol altura, aquesta raó prova que situar els eixos de coordenades és arbitrari.
Exemples de integració de derivades que mostra que no podem recuperar tota la funció:
Per confirmar que una integral està ben feta només hem de derivar-lo
1)
Demostració: Només cal derivar la seva integral i veure si dona la funció sense integrar .
Per linealitat tenim que:
Derivant sabent que tenim que la nostra expressió a simplificar és:
El domini de x és tots els nombres reals,
1.1)
1.2)
1.3)
2)
Demostració: Derivant la seva integral:
El domini de x és tots els nombres reals positius incloent el zero,
3)
Demostració: Derivant la seva integral segons el signe de x, si tenim que :
Si tenim que :
Derivant amb la regla de la cadena tenim:
Així obtenim la mateixa funció tan pels positius com pels negatius.
El domini de x és tots els nombres reals excloent el zero,
4)
Demostració: Derivant la seva integral:
El domini de x és tots els nombres reals,
4.1)
5)
6)
7)
8)
9)
Una de les propietats més usades per integrar és la linealitat de la integral que permet integrar polinomis de forma inmediata fragmentant totes les sumes i restes d'una integral en sumes i restes de integrals.
Primer apliquem la separació en sumes i restes, marcant amb uns parèntesis aquest fet, tot seguit traiem fora de la integral només les constants que multipliquen o divideixen, no s'ha de tocar cap altra constant:
2)
Primer de tot separem les constants de les funcions integrables, també podem crear constants necessàries com :
Ara ja podem aplicar la linealitat:
Finalment utilitzant la taula de integrals trobem que tenim fetes aquestes integrals i només queda arreglar-lo una mica:
El mètode d'integració per parts permet canviar una integral per un altra més senzilla, un cop entès el mètode com es fa rutinàriament, només cal observar els exemples per aprendre a fer-lo servir.
Aquest mètode permet fer una substitució de variables que pretenen simplificar les integrals.
Suposem que volem fer i no sabem integrar-la directament, però ens adonem que podem substituir funcions que dificulten la integració per una nova funció, quedant:
S'ha de tenir clar el requadre de derivades següent. Hem de derivar si la variable està totalment aïllada, ja sigui x o bé t.
Pas 1: S'ha de intuir el canvi de variable més adequat: Com que no podem fer però si que podríem fer llavors hem de deduir que el canvi més adequat és quedant l'esquema o requadre següent per fer substitucions:
Pas 2: Substituïm la variable quedant la integral:
Pas 3: S'ha de desfer el canvi de variable:
2)
Pas 1: S'ha de intuir el canvi de variable més adequat: Com que no volem desenvolupar però si que podríem fer llavors hem de deduir que el canvi més adequat és quedant l'esquema o requadre següent per fer substitucions:
Pas 2: Substituïm la variable quedant la integral:
Pas 3: S'ha de desfer el canvi de variable:
3)
Pas 1: Per practicar canvi de variable com que es repeteix possiblement puc simplificar-lo amb una t quedant l'esquema o requadre següent per fer substitucions:
Pas 2: Substituïm la variable quedant la integral: