Introducció a les funcions IV

Des d'un punt de vista més rigorós, el tema de funció és semblant al que hem fet en altres temes i seccions. Una conseqüència discreta de les funcions és la representació gràfica en diverses matèries per fer estudi de dades en àrees molt concretes: natalitat, canvis de temperatura, preu dels productes, etc.

Concretament en les matemàtiques és de gran utilitat per fer anàlisi rigorós del comportament de determinats successos, fins i tot, es poden fer estudis abstractes com a preludi elemental d'unes eines molt potents en cursos més avançats y on aquesta definició constarà com a assumit notablement.

Definició de funció

La definició de les funcions a l'ESO només aconsegueixen relacionar parelles de nombres (x, y) en el pla on usem coordenades, però, dos nombres és un punt, per tant, una funció establirà una serie de punts al pla.

• El primer conjunt de nombres és anomenat domini, X, i pot tenir la forma de recta real $\mathbb {R}$, semirecta $(-\infty ,\,a]$ o d'intervals.

• El segon conjunt de nombres és anomenat recorregut (o imatge), Y.

Compta amb la restricció que fa la nostra definició de funció:

Definició
Una funció és una relació entre nombres que donat un element x del domini, assigna un únic element y numèric del recorregut.

Podem dir que $y=f(x)$ es pot entendre i llegir dient que trobem y fent operacions o càlculs amb la x.

Notació: ${\begin{array}{rc}f:&X\to Y\\&\,x\mapsto y\end{array}}$ també s'indica com ${\begin{array}{c}X{\xrightarrow {\;\;\;f\;\;\;}}Y\\\,x\mapsto y\end{array}}$ El nom d'una funció pot ser $f,g,h,i,\,...$. La $X$ indica el domini de la funció. La $Y$ indica el recorregut de la funció.

Exemple de taula: ${\begin{array}{c|lr}x&y&=f(x)\\\hline a&1\\b&2\\c&3\\d&4\\\end{array}}$

La representació es fa exactament igual com les equacions, partint de la taula de dos columnes obtenim els punts necessaris per fer la representació.

Exemples

1)

${\begin{array}{rccc}f:&X&{\xrightarrow {\;\;\;\;\;}}&Y\\&x&\mapsto &x-1\end{array}}$

Taula:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline 0&-1\\1&0\\2&1\\3&2\\\vdots &\vdots \end{array}}$

2)

${\begin{array}{rccc}f:&[0,\,1]&{\xrightarrow {\;\;\;\;\;}}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &2-x\end{array}}$

Taula:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline 0&2\\0,1&1,9\\0,2&1,8\\0,3&1,7\\\vdots &\vdots \\1&1\end{array}}$

3)

${\begin{array}{rccc}f:&(1,\,2)&{\xrightarrow {\;\;\;\;\;}}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &1\end{array}}$

Taula:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline (1)&1\\1,1&1\\1,2&1\\1,3&1\\\vdots &\vdots \\(2)&1\end{array}}$

4)

${\begin{array}{rccc}f:&[-1,\,0)&{\xrightarrow {\;\;\;\;\;}}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &-1\end{array}}$

Taula:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline -1&-1\\-0,9&-1\\-0,8&-1\\-0,7&-1\\\vdots &\vdots \\(0)&-1\end{array}}$

5)

${\begin{array}{rccc}f:&(-1,\,1]&{\xrightarrow {\;\;\;\;\;}}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &x^{2}\end{array}}$

Taula:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline (-1)&1\\-0,5&0,25\\0&0\\0,5&0,25\\\vdots &\vdots \\1&1\end{array}}$

6)

${\begin{array}{rccc}f:&[0,\,+\infty )&{\xrightarrow {\;\;\;\;\;}}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\sqrt {x}}\end{array}}$

Taula:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline 0&0\\1&1\\4&2\\9&3\\\vdots &\vdots \end{array}}$

7)

${\begin{array}{rccc}f:&[1,\,+\infty )&{\xrightarrow {\;\;\;\;\;}}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\cfrac {1}{x}}\end{array}}$

Taula:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline 1&1\\2&0,5\\4&0,25\\5&0,2\\10&0,1\\\vdots &\vdots \end{array}}$

Funcions definides a trossos

Per detallar una funció, es pot fer de forma més sintètica i reduïda, parlant només de $f(x)=...$ i, a continuació, el seu domini on es considera aquesta x.

Exemples

1) Funció que assigna 1 als nombres més petits que dos i assigna 0 als nombres més grans o iguals que dos.

$f(x)={\begin{cases}1&{\text{ Si }}x<2\\0&{\text{ Si }}2\leq x\end{cases}}$

2) Funció que assigna 0 als nombres més petits o igual que zero i també més grans que dos, assigna x als nombres entre zero i u,i assigna 2-x als nombres entre u i dos ambdós inclosos.

$f(x)={\begin{cases}0&{\text{ Si }}x\leq 0{\text{ o }}2<x\\x&{\text{ Si }}0<x<1\\2-x&{\text{ Si }}1\leq x\leq 2\end{cases}}$

3) Funció amb 7 parts?:

$f(x)={\begin{cases}1+x&{\text{ Si }}0\leq x<1\\2&{\text{ Si }}1\leq x\leq 2\\x&{\text{ Si }}2<x\leq 3\\2x-3&{\text{ Si }}3<x<4\\21-4x&{\text{ Si }}4<x<5\\1&{\text{ Resta de cassos}}\end{cases}}$

Funció valor absolut

De les més utilitzades en totes les àrees del coneixement.

$f(x)=|x|={\begin{cases}-x&{\text{ si }}x<0\\x&{\text{ si }}0\leq x\end{cases}}$

Vegem com és la taula per cada una de les dues excepcions:

${\begin{array}{c|c}x&-x\\\hline (0)&0\\-1&1\\-2&2\\-3&3\\\vdots &\vdots \end{array}}$

${\begin{array}{c|c}x&x\\\hline 0&0\\1&1\\2&2\\3&3\\\vdots &\vdots \end{array}}$

Observació

La distància o passa entre valors que anem provant és de una unitat: h = 1

• Per fer detalls més delicats podem escollir valors més petits: h = 0,5

• Si h és molt petit, llavors la taula serà molt gran i trigarem molt en omplir-la.

Exemple de passa h = 0,1:

${\begin{array}{c|c}x&|x|\\\hline 0&0\\0,1&0,1\\0,2&0,2\\0,3&0,3\\0,4&0,4\\0,5&0,5\\0,6&0,6\\0,7&0,7\\0,8&0,8\\0,9&0,9\\1&1\\\vdots &\vdots \end{array}}$

Observeu que per representar el tros que va del zero a l'u hem fet massa càlculs per res. Pensem per tant en fer càlculs estratègicament situats per estalviar càlculs innecessaris.

Exemple de programa que representa el $\sin(x*60)$ amb diferents fragments nh=6 però que pot ser nh=9, nh=18 o nh=36.

Dibuix en format *.svg que inclou un miniprograma que representa funcions editant el codi. Arxiu per copiar i desar amb el Bloc de notes: tipus *.*, format UTF-8 i un nom com Program.svg

<svg width="1000" height="1000" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" onload="create(evt)"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var ax1=-3;ax2=6;axw=1000;by1=-7;by2=6;byw=1000;//Interval:X,(ax1,ax2), Y,(by1,by2). var nh=6;//numero de pasos o fragmentos. var Root=document.documentElement//Contenedor de elementos. function create(){ var vy;vx=ax1;h=(ax2-ax1)/nh;dim=axw/(ax2-ax1);//variables y ajuste del marco. var cadena="m";ejes="m";cuadri="";by2=by1+(ax2-ax1);//marco cuadrado. G=document.createElementNS(xmlns,"g");Root.appendChild(G);G.setAttributeNS(null,"transform","scale("+(dim)+"),translate("+(-ax1)+","+(by2)+")"); P=document.createElementNS(xmlns,"path");E=document.createElementNS(xmlns,"path"); F=document.createElementNS(xmlns,"path");T=document.createElementNS(xmlns,"text");//creadores. vy=fx(vx);cadena=cadena+(vx)+","+(-vy)+"L"; for(vx=vx+h;vx<ax2+h;vx=vx+h,cadena=cadena+" "){ vy=fx(vx);cadena=cadena+(vx)+","+(-vy);} ejes=ejes+(0)+","+(-by1)+"L"+(0)+","+(-by2)+"q0.05,0.3 0.1,0.4q-0.1,-0.1 -0.2,0q0.05,-0.1 0.1,-0.4";//eje y. ejes=ejes+"M"+(ax1)+","+(0)+"L"+(ax2)+","+(0)+"q-0.3,-0.05 -0.4,-0.1q0.1,0.1 0,0.2q0.1,-0.05 0.4,-0.1";//eje x. for(i=0;i<(ax2-ax1)+1 || i<(by2-by1)+1;i++){ cuadri=cuadri+"M"+(Math.round(ax1-1)+i)+","+(-by1)+"L"+(Math.round(ax1-1)+i)+","+(-by2); cuadri=cuadri+"M"+(ax1)+","+(-Math.round(by1-1)-i)+"L"+(ax2)+","+(-Math.round(by1-1)-i); } T.setAttributeNS(null,"x",30);T.setAttributeNS(null,"y",150);T.setAttributeNS(null,"font-size","18pt"); F.setAttributeNS(null,"d",cuadri);F.setAttributeNS(null,"stroke","#444");F.setAttributeNS(null,"opacity","0.3"); F.setAttributeNS(null,"stroke-width",0.03);F.setAttributeNS(null,"fill","none");G.appendChild(F); E.setAttributeNS(null,"d",ejes);E.setAttributeNS(null,"stroke","black"); E.setAttributeNS(null,"stroke-width",0.03);E.setAttributeNS(null,"fill","black");G.appendChild(E); P.setAttributeNS(null,"d",cadena);P.setAttributeNS(null,"stroke","#00f");P.setAttributeNS(null,"stroke-width",0.03); P.setAttributeNS(null,"fill","none");G.appendChild(P); Msg=document.createTextNode(cuadri);T.appendChild(Msg);// G.appendChild(T);//sonda de cadena. }//Para fOrmulas matemAticas: Math.sin(), Math.Cos(), ... function fx(x){return Math.sin(x*3.14/3);}//<<---******FUNCIoN f a representar.********* ]]></script> <path d="m1,1h998v998h-998z" stroke="#f5f" stroke-width="2" fill="none"/> </svg>

Funció part entera

També es pot fer una funció de cada tipus de aproximació:

La funció d'aproximació per truncament, més conegut com part entera:

$f(x)=[x]$

Taula per analitzar:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline \vdots &\vdots \\0,8&0\\0,9&0\\1&1\\1,1&1\\1,2&1\\\vdots &\vdots \end{array}}$

No és una funció a trossos encara que estigui molt fragmentada.

Fem ara la funció d'aproximació per arrodoniment:

$f(x)={\bar {x}}$

Taula per analitzar:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline \vdots &\vdots \\0,3&0\\0,4&0\\0,5&1\\0,6&1\\0,7&1\\\vdots &\vdots \end{array}}$

Tampoc és una funció a trossos encara que estigui molt fragmentada. En programació es pot trobar com: Math.round(x) en javaScript.

Anàlisi gràfic

Mitjançant l'anàlisi gràfic és quan podem comprendre amb més fidelitat el comportament de cada funció. Es demana molt aquest tipus d'apreciacions per poder assegurar que es segueix el contingut del tema.

Continuïtat i discontinuïtat

La continuïtat o no d'una funció és el que el seu nom indica; només hem de comprovar que no hi ha salts al seu gràfic dins del seu domini. Per imaginar-ho, hem de pensar que una funció és continua quan podem dibuixar el seu gràfic amb un llapis sense aixecar-lo del full i direm que és discontinua si hem de aixecar el llapis per fer aquest dibuix.

Exemples

1) Funció contínua:

2) Funció no contínua:

Creixement i decreixement

El creixement o decreixement només té sentit si sabem situar-nos, considerant que avancem pel gràfic anant en el sentit al infinit positiu.

Exemples

1) Creixement en una funció:

2) Decreixement en una funció:

Màxims i mínims

Parlem de màxims i mínims relatius(locals) quan analitzem un lloc concret del seu domini, per tant:

• Es considera un màxim relatiu a un tros del domini quan és el punt més gran o més alt.

• Es considera un mínim relatiu a un tros del domini quan és el punt més petit o més fondo.

Parlem de màxims i mínims absoluts(globals) quan es el punt més gran o més petit respectivament.

Simetries i periodicitat

Funció parella és la funció amb simetria vertical:

Funció imparella és la funció amb simetria central, és a dir, simetria respecte el punt O = (0, 0):

Funció periòdica és la funció que repeteix exactament i exclusivament una part concreta del seu gràfic al llarg del eix X:

Trasllat de funcions

Per traslladar tots els punts d'una funció, necessitem un vector que ens digui el destí de tots els punts.

Dada la funció $f(x)$ la seva funció traslladada amb el vector ${\vec {(a,b)}}$ dona una funció: $g(x)=f(x-a)+b$

Demostració: Donada $f(x)$ els seus punts son de la forma $(x,f(x))$ i sumant el vector ${\vec {(a,b)}}$ dona: $(x,f(x))+{\vec {(a,b)}}=(x+a,f(x)+b)$ El truc de canvi de variable $z=x+a$ i per tant $z-a=x$ per tant queda: $(x+a,f(x)+b)=(z,f(z-a)+b)$ Finalment maquillant amb z=x tenim: $(x,f(x-a)+b)$ És a dir $g(x)=(x,f(x-a)+b)$

Interpretació gràfica sobre taules, suposant que tenim la funció $f(x)=x^{2}$, traslladar la funció ${\vec {(2,3)}}$ dona $g(x)=(x-2)^{2}+3$:

${\begin{array}{c|c}x&f(x)\\\hline \vdots &\vdots \\-3&9\\-2&4\\-1&1\\0&0\\1&1\\2&4\\3&9\\\vdots &\vdots \end{array}}$

${\begin{array}{c|c}x&g(x)\\\hline \vdots &\vdots \\-1&12\\0&7\\1&4\\2&3\\3&4\\4&7\\5&12\\\vdots &\vdots \end{array}}$

Vigilem les taules comparant per columnes:

• Veieu que la primera columna de la segona taula és la primera columna de la primera taula sumant 2 als seus valors.

• Veieu que la segona columna de la segona taula és la segona columna de la primera taula sumant 3 als seus valors.

És una manera mólt ràpida de calcular-ho.

Exemples:

• Tutorial per traslladar la funció $f(x)=|x|$.

• trasllats i reflexions.

• La primera part és interessant per $f(x)=(x)^{2}$, la segona part fa comparatives per a qui interessi.

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO