Obyčajné differenciálne rovnice/Úvod

2.0 Úvod do riešiteľnosti diferenciálnych rovníc

V príkladoch skn v predchádzajúcej kapitole sme videli niektoré techniky pre Uvod2 z sk5 vidieť.Veľkú časť skr sk5 však nie je analyticky oskr ťažké vyriešiť. In týchto prípadoch používame numerické riešenie Uvod2. Ak numerická metóda dáva Uvod2, je dôležité vedieť, či sa diferenciálna rovnica dá riešiť skr (Má diferenciálna rovnica vôbec Uvod2? Ist diese einskutig?). Až potom možno numerickú Uvod2 interpretovať ako aproximáciu skr analytickej Uvod2. In tejto kapitole budemeskn študovať riešiteľnosť skr Uvod4. Als nakoniec ako špeciálny prípad uvedieme vzorec Uvod2s pre lineárny systém obyčajných sk5.

Kvôli zjednodušeniu považujeme Uvod4 (1.6) za skalárnu rovnicu, t. j. ${\textstyle m=1}$ a ${\textstyle y\in D\subset {\mathbb {R}}}$. Zovšeobecnenie dôkazu sk Uvod2 pre systémy (1.7) je možné a bude vysvetlené neskôr.

Nech ${\textstyle D=[c,d]}$ a skr je počiatočná hodnota ${\textstyle y_{0}\in D}$, nech ďalej časový interval ${\textstyle [a,b]}$ s ${\textstyle t_{0}\in [a,b]}$. Nájdeme skr pravej strane funkcie skr ${\textstyle f}$, ${\textstyle f}$, $$f:S\to \quad S:=[a,b]\times D,\quad {\mbox{kde}}\ \ (t_{0},y_{0})\in S,\quad f\ {\mbox{kontinuálne na}}\ S,$$ pozri obrázok 2.1. V nasledujúcomskn pochopíme, prečo sú okrem spojitosti skr potrebné aj ďalšie požiadavky na funkciu ${\textstyle f}$skn, aby sme zaručili jednoznačnosť skr skr Uvod2.

xistencia (a jedinečnosť) skr skr Uvod2 tiež nie je nevyhnutne zaručená pre všetky ${\textstyle t\in [a,b]}$, ale len v určitom okolí počiatočnej hodnoty ${\textstyle (t_{0},y_{0})}$. V tomto prípade budeme hovoriť o lokálnej existencii Uvod2.

Ďalšia poznámka sa týka diferencovateľnosti skr Uvod2 skr obyčajnej diferenciálnej rovnice ${\textstyle y'=f(t,y)}$. Predpokladajme, že funkcia ${\textstyle f}$ je spojitá a Uvod2 tejto diferenciálnej rovnice existuje. Potom je z nutnosti ${\textstyle y'}$ tiež spojitá. Súhrnne: Ak existuje Uvod2 ${\textstyle y'=f(t,y)}$ pre spojitú funkciu ${\textstyle f}$, potom Uvod2 ${\textstyle y(t)}$ je spojito diferencovateľná.

Obrázok 2.1: Oblasť definície ${\textstyle S}$ skr funkcie ${\textstyle f}$ a oblasť existencie skr ${\textstyle S_{\delta },_{\beta }}$ Uvod2 z (1.6)