Obyčajné differenciálne rovnice

Úvod

Na tejto stránke nájdete v budúcnosti elektronický skript k obyčajným differenciálnym rovniciam.

Tento kurz zahŕňa získanie poznatkov o riešiteľnosti, o vybraných analytických prístupoch k riešeniu ako aj o numerických metódach aproximácie riešení obyčajných diferenciálnych rovníc.

Špeciálne vlastnosti numerických metód, ich konvergencia a stabilita sú analyzované s ohľadom na ich praktické použitie a implementáciu.

Prehľad zahrnutých tém:

• Existencia a jedinečnosť riešenia
• Analytické prístupy k riešeniu obyčajných diferenciálnych rovníc
• Numerické metódy riešenia, chyby diskretizácie
• Jednokroková metóda, Runge-Kutta metóda
• Viackrokové metódy
• Konvergencia a stabilita

Dostupnosť v iných jazykoch

Tento skript o obyčajných diferenciálnych rovniciach je preložený z nemčiny v rámci spolupráce s Univerzitou Kaiserslautern-Landau v Nemecku, Institut für Mathematik, RPTU Kaiserslautern-Landau

Originálny skript: Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen

Obsah

Kapitola 1: Úvod do diferenciálnych rovníc

Aproximácia krivky Tractrix

• 1.1 Diferenciálne rovnice
• 1.2 Terminológia

Kapitola 2: Riešiteľnosť problému začiatočnej úlohy

• 2.0 Úvod
• 2.1 Iteračná Picardova-Lindelöfova metóda
• 2.2 Závislosť riešenia od začiatočných hodnôt
• 2.3 Lineárne systémy obyčajných diferenciálnych rovníc
  • 2.3.1 Lineárne systémy obyčajných diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientami

Kapitola 3: Všeobecné jednokrokové metódy

• 3.0 Úvod do jednokrokových metód
• 3.1 Konzistentnosť a konvergencia jednokrokových metód
• 3.2 Kontrola kroku pre jednokrokové metódy

Kapitola 4: Runge-Kutta metódy

• 4.0 Úvod do Runge-Kutta metód
  • 4.1 Odvodenie Runge-Kutta metód
• 4.2 Podmienky pre rád Runge-Kutta metód
• 4.3 Runge-Kutta páry
• 4.4 Implicitné Runge-Kutta metódy
  • Kolokačná metóda

Literatúra

1. Hairer, Ernst, Nørsett, Syvert P., Wanner, Gerhard: Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems, Springer Series in Computational Mathematics, 1993. Springer
2. Hairer, Ernst, Wanner, Gerhard: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer Series in Computational Mathematics, 1996. Springer
3. Hanke-Bourgeois, Martin: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Springer, Vieweg+Teubner, 2009. Springer