Obyčajné differenciálne rovnice/Úvod do Runge-Kutta metód

Runge-Kutta metódy

Metódy Runge-Kutta (RKV) sú špeciálne jednokrokové metódy, ktoré vďaka svojej štruktúre umožňujú vyšší stupeň konzistencie, a tým aj vyššiu presnosť numerického riešenia. Tieto metódy vyvinul nemecký matematik Wilhelm Kutta v roku 1901 na základe článku Carla Rungeho z roku 1895.

Ak sa pozrieme na rovnicu ${\textstyle y'(t)=f(t,y(t))}$, vyšší rád konzistencie metódy Runge-Kutta je spôsobený vyšším počtom vyhodnotení funkcie ${\textstyle f}$ (pravá strana rovnice) v bodoch medzi ${\textstyle t_{i}}$ und ${\textstyle t_{i+1}=t_{i}+h}$ dosiahnuté. Medziľahlé body ${\textstyle t_{i}+ch}$ voláme Kroky, oder Body podpory, pričom ${\textstyle c\in [0,1]}$ a ${\textstyle h}$ je prírastok.

V doteraz študovaných ESV, ako sú Eulerova metóda, lichobežníkové pravidlo, pravidlo stredového bodu (v explicitnej alebo implicitnej forme), sa v každom kroku použilo jedno alebo dve vyhodnotenia ${\textstyle f}$ v bodoch ${\textstyle t_{i},t_{i+1/2}}$ alebo ${\textstyle t_{i+1}}$. V RKV sa počet bodov mriežky zvyšuje a ich poloha sa určuje primerane, aby sa dosiahol čo najvyšší poriadok konzistencie. Die bisher bekannten ESV können als die einfachsten Runge-Kutta Verfahren einordnet werden.

---

'Definícia 4.1. ("Runge-Kutta metóda").

Nech ${\textstyle s\in {\mathbb {N} }}$ je počet stupňov/podporných bodov, ${\textstyle A\in {\mathbb {R} }^{s\times s}}$ je koeficientová matica so zápismi ${\textstyle (A)_{j,m}=:a_{jm}}$, nech ${\textstyle {\vec {b}}\in {\mathbb {R} }^{s}}$ vektor váh a ${\textstyle {\vec {c}}\in {\mathbb {R} }^{s}}$ vektor výberových bodov.
Metóda s pravidlom $${\begin{aligned}\eta _{0}&=y_{0},\\k_{j}&=f{\Big (}t_{i}+hc_{j},\eta _{i}+h\sum _{m=1}^{s}a_{jm}k_{m}{\Big )}\quad {\mbox{für}}\ j=1,\ldots ,s,\qquad \qquad (4.1)\\\eta _{i+1}&=\eta _{i}+h\sum _{j=1}^{s}k_{j}b_{j}\quad {\mbox{für}}\ i=0,1,\ldots ,N_{h}-1\end{aligned}}\qquad (4.2)$$ sa nazýva s-kroková Runge-Kutta metóda.

---

Metódy Runge-Kutta sa dajú špecifikovať aj schematicky v takzvanej Butcherovej tabuľke:

oder kurz

${\textstyle {\vec {c}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{s}\end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}^{\,T}=(b_{1},\ldots b_{s})}$.

Príklad 4.1.

Ohodnotenie funkcie ${\textstyle k_{j}}$ RKV pre ${\textstyle j=2}$ je $k_{2}=f{\Big (}(t_{i}+hc_{2},\eta _{i}+h\sum _{m=1}^{s}a_{2m}k_{m}{\Big )}=f{\Big (}(t_{i}+hc_{2},\eta _{i}+h{\vec {a}}_{2}\cdot {\vec {k}}{\Big )},$ kde ${\vec {a}}_{2}=(a_{21},\ldots ,a_{2s})$ je druhý riadok matice $A$ a ${\vec {k}}_{2}=(k_{1},\ldots ,k_{s})$ $\quad \diamond .$

Nová hodnota numerického riešenia po jednom kroku RKV (nazývanom aj Runge-Kutta aktualizácia) sa vypočíta podľa (4.2) ako $\eta _{i+1}=\eta _{i}+h\sum _{j=1}^{s}k_{j}b_{j}.$ Porovnanie tejto rovnice s Volterrovou integrálnou rovnicou (2.1) na intervale $(t_{i},t_{i+1})$, $y(t_{i}+h)=y(t_{i})+\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}f(s,y(s))ds$ vedie k nasledujúcim úvahám: Ak integrál ${\textstyle \int _{t_{i}}^{t_{i+1}}f(s,y(s))ds}$ zmysluplne nahradíme súčtom takým, že $h\sum _{j=1}^{s}k_{j}b_{j}\approx \int _{t_{i}}^{t_{i+1}}f(s,y(s))ds,$ na výpočet novej hodnoty ${\textstyle f}$ sa použije kvadratúra ${\textstyle \eta _{i+1}}$. Tu ${\textstyle k_{j}}$ sú ${\textstyle s}$ uzly tejto kvadratúry v bodoch mriežky ${\textstyle t_{i}+hc_{j}}$ (pozri (4.1)) a ${\textstyle b_{j}}$ sú váhy kvadratúry. Skonštruovať RKV teda znamená nájsť vhodnú kvadratúru integrálu ${\textstyle \int _{t_{i}}^{t_{i+1}}f}$. Najjednoduchšie RKV (ide o jednokrokové metódy uvedené v kapitole 3) zahŕňajú aplikáciu kvadratúr, ako je pravidlo obdĺžnika, stredového bodu a lichobežníka pre integrál ${\textstyle \int _{t_{i}}^{t_{i+1}}f(s,y(s))ds}$ (pozri poznámku 3.1 bod iii) a obrázky 3.1, 3.2, 3.3, 3.4). Butcherovu tabuľku možno interpretovať takto: Vektor ${\textstyle {\vec {c}}}$ opisuje body mriežky a vektor ${\textstyle {\vec {b}}}$ opisuje váhy príslušnej kvadratúry ${\textstyle f}$ na intervale ${\textstyle (t_{i},t_{i+1})}$. Die Matrix ${\textstyle A}$ spiegelt in gewissem Sinne die Differentialgleichung zurück. Dies kann wie folgt begründet werden:
Nach der Definition der Runge-Kutta Verfahren, siehe (4. 1), und mithilfe der Differentiagleichung ${\textstyle y'=f(t,y)}$ kann darauf geschlossen werden, dass die ${\textstyle k_{j}}$ die Ableitungen der gesuchten Funktion an den Stützstellen ${\textstyle t_{i}+hc_{j}}$ approximieren, sodass mit ${\textstyle j=1,\ldots s}$ und ${\textstyle i}$ - fest, $$k_{j}\approx y'(t_{i}+hc_{j})$$

platí. Keďže na výpočet ${\textstyle A}$ sa používa matica ${\textstyle k_{j}}$, automaticky sa tým vyjadruje diferenciálna rovnica vo vyššie opísanom zmysle.

Na rozlíšenie explicitných a implicitných metód RK možno použiť maticu ${\textstyle A}$:

• Explicitná Runge-Kutta metóda (eRKV):
  

Ak je matica ${\textstyle A}$ dolná trojuholníková matica, ide o explicitnú RKV. V tomto prípade sa v každom ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{j-1}}$ kroku na výpočet ${\textstyle t_{i}}$ použije iba predtým vypočítaná ${\textstyle k_{j},j=1,\ldots s}$. V tomto prípade môžete explicitne vypočítať ${\textstyle k_{j}}$ vložením ako $$k_{j}=f{\Big (}t_{i}+hc_{j},\eta _{i}+h\sum _{m=1}^{j-1}a_{jm}k_{m}{\Big )}.$$

• 'Implicitná Runge-Kutta metóda (iRKV):
  Implicitná Runge-Kutta metóda (iRKV):
  

Ak je matica ${\textstyle A}$ plne vyplnená matica, potom ${\textstyle k_{j}}$ všeobecne závisí od všetkých ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{s}}$ pre každé ${\textstyle j=1,\ldots s}$. Výpočet ${\textstyle k_{j}}$ sa potom vykoná riešením (lineárnej alebo prípadne nelineárnej) sústavy rovníc. V tomto prípade je výpočet ${\textstyle k_{j}}$ jednoduchší alebo lacnejší, ak ${\textstyle A}$ je trojuholníková matica. V tomto prípade sa rozlišuje medzi

• • DIRK-metóda: ’diagonálna implicitná metóda RK’:
    

Matrix ${\textstyle A}$ je trojuholníková matica s ${\textstyle diag(A)\neq {\bf {0}}}$,

• • SDIRK-metóda: ’jednoducho diagonálna implicitná metóda RK’:
    

matica ${\textstyle A}$ je trojuholníková matica s ${\textstyle diag(A)=\lambda diag(I)\neq {\bf {0}},\ \lambda \in {\mathbb {R} },\ I}$ ist eine Einheitsmatrix,

• • SIRK-metóda ’jednoducho implicitný postup RK’:
    

matica ${\textstyle A}$ je plne vyplnená matica, pričom ${\textstyle diag(A)=\lambda diag(I)}$ a horná trojuholníková matica tiež pozostáva z ${\textstyle \lambda }$'s.

Teraz uvedieme niekoľko konkrétnych príkladov Runge-Kutta metód:
Explicitná Eulerova metóda, ${\textstyle s=1}$:

$${\begin{aligned}\\k_{1}&=f(t_{i}+0.h,\eta _{i}+0.hk_{1})=f(t_{i},\eta _{i})\\\eta _{i+1}&=\eta _{i}+hk_{1}\equiv \eta _{i}+hf\underbrace {(t_{i},\eta _{i})} _{=k_{1}}\end{aligned}}$$
Implicitná Eulerova metóda, ${\textstyle s=1}$:

$${\begin{aligned}\\k_{1}&=f(t_{i}+1.h,\eta _{i}+1.hk_{1})\\\eta _{i+1}&=\eta _{i}+hk_{1}\equiv \%\eta _{i}+hf\underbrace {(t_{i}+h,\eta _{i}+hk_{1})} _{=k_{1}}=\eta _{i}+hf(t_{i}+h,\underbrace {\eta _{i}+hk_{1}} _{=\eta _{i+1}})\end{aligned}}$$
Vylepšená Eulerova metóda (explicitné pravidlo stredového bodu), ${\textstyle s=2}$:

$${\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{i},\eta _{i})\\k_{2}&=f{\big (}t_{i}+{\frac {h}{2}},\eta _{i}+{\frac {h}{2}}k_{1}{\big )}\\\eta _{i+1}&=\eta _{i}+h(0.k_{1}+1.k_{2})\\&\equiv \eta _{i}+hf\underbrace {{\Big (}t_{i}+{\frac {h}{2}},\eta _{i}+{\frac {h}{2}}\underbrace {f(t_{i},\eta _{i})} _{=k_{1}}{\Big )}} _{=k_{2}}\end{aligned}}$$

Klasický Runge-Kutta postup, ${\textstyle s=4}$:

$${\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{i},\eta _{i})\\k_{2}&=f{\big (}t_{i}+{\frac {h}{2}},\eta _{i}+{\frac {h}{2}}k_{1}{\big )}\\k_{3}&=f{\big (}t_{i}+{\frac {1}{2}}h,\eta _{i}+{\frac {h}{2}}k_{2}{\big )}\\k_{4}&=f{\big (}t_{i}+h,\eta _{i}+hk_{3}{\big )}\\\eta _{i+1}&=\eta _{i}+h{\Big (}{\frac {k_{1}}{6}}+{\frac {k_{2}}{3}}+{\frac {k_{3}}{3}}+{\frac {k_{4}}{6}}{\Big )}\end{aligned}}$$

${\textstyle 3/8}$- Pravidlo, ${\textstyle s=4}$:

$${\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{i},\eta _{i})\\k_{2}&=f{\big (}t_{i}+{\frac {h}{3}},\eta _{i}+{\frac {h}{3}}k_{1}{\big )}\\k_{3}&=f{\big (}t_{i}+{\frac {2}{3}}h,\eta _{i}-{\frac {h}{3}}k_{1}+hk_{2}{\big )}\\k_{4}&=f{\big (}t_{i}+h,\eta _{i}+hk_{1}-hk_{2}+hk_{3}{\big )}\\\eta _{i+1}&=\eta _{i}+h{\Big (}{\frac {k_{1}}{8}}+{\frac {3}{8}}k_{2}+{\frac {3}{8}}k_{3}+{\frac {k_{4}}{8}}{\Big )}\end{aligned}}$$

Ďalšie dve explicitné 3-stupňové RKV sú dané nasledujúcimi Butcherovými tabuľkami:

Heunova metóda, ${\textstyle s=3}$ (1900): $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$3-stupňová eRKV