Obyčajné differenciálne rovnice/1.1 Diferenciálne rovnice

1.1 Diferenciálne rovnice

Diferenciálne rovnice sú rovnice, v ktorých sa vyskytuje neznáma funkcia a jej derivácie. Takéto rovnice predstavujú vzťah medzi priebehom určitého procesu opísaného danou funkciou a zmenou tohto procesu v priestore alebo čase. Diferenciálne rovnice sa často vyskytujú, keď sa má matematicky modelovať fyzikálny, chemický, biologický alebo sociálny proces. Fyzikálne odvodenie diferenciálnej rovnice je preklad fyzikálnych zákonov do matematického jazyka: do diferenciálnej rovnice alebo do sústavy niekoľkých diferenciálnych rovníc.

Ak hľadaná funkcia závisí len od jednej premennej, t. j. ${\textstyle y=y(t)}$, t. j. modelovaný proces závisí napríklad len od času, diferenciálna rovnica sa označuje ako obyčajná diferenciálna rovnica. Ak modelovaná funkcia závisí od viacerých premenných, napríklad od priestorových súradníc ${\textstyle x\in {\mathbb {R} }^{3}}$, alebo navyše od času ${\textstyle t}$, t. j. ${\textstyle y=y(t,x),\,x\in {\mathbb {R} }^{3}}$, diferenciálna rovnica sa nazýva parciálna diferenciálna rovnica. Vyskytujú sa tu parciálne derivácie funkcie ${\textstyle y}$ podla ${\textstyle t}$ a ${\textstyle x}$.

Príklad 1.1 (Traktrix, Leibniz 1693).

Uvažujeme reťiazkové hodinky s dĺžkou reťiazky ${\textstyle a}$, ktoré ležia na stole tak, že ich retiazka je na začiatku ${\textstyle t=t_{0}}$ je kolmá na okraj stola. Koniec reťiazky sa pomaly ťahá po okraji stola. Po ktorej krivke sa pohybujú hodinky? (Polomer hodín tu môžeme zanedbať, takže polohu hodín môžeme opísať pomocou ich stredu)

Riešenie:

Obr. 1.1: Aproximácia krivky opísanej reťazovými hodinkami pomocou explicitného prístupu riešenie