Obyčajné differenciálne rovnice/Konzistentnosť a konvergencia jednokrokových metód

3.1 Konzistentnosť a konvergencia postupu sk0s

Teraz sa bližšie pozrieme na skr exaktnosť skr sk0 a skr konvergenciu skr získanej postupnosti (numerickej Uvod2) k exaktnej Uvod2.

---

''Definícia 3.2 („Lokálna chyba (skráteniask-)“).

Sei $y$ die exakte Uvod2 skr Uvod4 (1.6). $\tau (t;h)=\tau (t;h;y;\Phi )\equiv {\frac {y(t+h)-y(t)-h\Phi (t,y(t);h;f)}{h}},\ \ t\in G_{h}-\{t_{N_{h}}\}:=G'_{h}\qquad (3.8)$

sa nazýva local cut-off error (lokálna procedurálna chyba $\Phi$) na mieste skr $t$.
V skr sk3 lokálna chyba je niekedy aj $\varepsilon (t;h)=y(t+h)-y(t)-h\Phi (t,y(t);h;f)\equiv h\tau (t;h)$.

označená.

---

''Poznámka 3.2 (Beskutung sks local Procedurálna chyba)

• Ak v hornej definícii nahradíme $y(t+h)$ za $\eta _{i+1}$ a $y(t)$ za $\eta _{i}$, dostaneme $\eta _{i}$ pomocou (3. 7) $\tau (t;h)=\varepsilon (t;h)=0$. To znamená, že číselný Uvod2 spĺňa sk0 (3.7) presne. Presný Uvod2 $y(t)$ však nespĺňa rovnicu skr (3.7), ale spĺňa ju len približne, s možnou „malou“ lokálnou procedurálnou chybou. Lokálna chyba teda opisuje, ako „dobre“ presná Uvod2 spĺňa sk0 (3.7).
• Wenskt sa zadá do skm sk0 (3.7) ako východisková hodnota namiesto $\eta _{i}$ skn presnej hodnoty $y(t_{i})$, číselná Uvod2 sa získa po jednom kroku (3.7)

${\tilde {\eta }}_{i+1}=y(t)+h\Phi (t,y(t);\ldots ),$

Lokálnu chybu skn možno chápať ako rozdiel skr numerickej a skr presnej Uvod2 po kroku sks sk0s, $\varepsilon (t_{i};h):=y(t_{i+1})-{\tilde {\eta }}_{i+1}$.

• Lokálnu Felhlerovu rovnicu sks možno ďalejskvyužiť v skm Taylorovom rozklade $y(t_{i}+h)$ okolo bodu $h=0$. Tu je zrejmé, že lokálna chyba skr opisuje, ako sa funkcia procesu $\Phi$ aproximuje skn zvyšku skr Taylorovho radu: $y(t_{i}+h)=y(t_{i})+h\underbrace {y'(t_{i})+{\frac {h^{2}}{2}}y''(t_{i})+\ldots } _{\approx \Phi (t_{i},y(t_{i});h;f)}=y(t_{i})+h\Phi (t_{i},y;h;f)+\varepsilon (t_{i};h).$Teda nastane chyba skrátenia názvu skr.
  

Ak uvažujeme Volterrovu integrálnu rovnicu na intervale skm $(t_{i},t_{i+1})$, $y(t_{i}+h)=y(t_{i})+\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}f(s,y(s))ds,$ v skr opisuje lokálnu chybu toho, ako dobre $h\Phi$ aproximuje integrál $\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}f(s,y(s))ds$.

Je jasné, že procesná funkcia zmysluplného ESV nemôže byť ľubovoľná, ale musí spĺňať určité vlastnosti. Aké sú to vlastnosti? Je žiaduce, aby lokálne procedurálne chyby skr klesali so stále menšou veľkosťou kroku $h$. Teraz uvažujeme definíciu skr lokálnej chyby procesu $\tau (t_{i},h)={\big (}y(t_{i}+h)-y(t_{i})-h\Phi (t_{i},h){\big )}/h$, pozri (3.8). Pre $h\to 0$ dostávame ${\frac {y(t_{i}+h)-y(t_{i})}{h}}=y'(t_{i})=f(t_{i},y(t_{i}))$ v prvom člene na pravej strane skr. Aby sme zaručili malosť sk lokálnej chyby pre $h\to 0$, musí mať preto funkcia procesu nasledujúcu vlastnosťsk: $\phi (t_{i},y(t_{i}),h;f)\to f(t_{i},y(t_{i}))\ {\mbox{für}}\ h\to 0.$

Táto vlastnosť sa nazýva konzistencia (kompatibilita) metódy sks s skr Uvod4, pozri (1.6). Kvalita skr aproximácie skr pravej strany skr Uvod4 $f$ funkciou metódy $\Phi$ a teda presnosť skr numerickej metódy sa meria s skr poradím konzistencie.

---

''Definícia 3.3 („Konzistentnosť“)

Sei $\tau (t;h)$ skr lokaler Fehler sks sk0s.
Das sk0 (3.7) heißt konsistent mit skr Uvod4, wenn $\max _{t\in G'_{h}}|\tau (t;h)|\to 0\ {\mbox{für}}\ h\to 0.$ Model sk0 (3.7) má Minskst konzistentné poradie p $\in \mathbb {N}$ vzhľadom na skr Uvod4 (1.6), ak

$\max _{t\in G'_{h}}|\tau (t;h)|={\cal {O}}(h^{p})\ {\mbox{für}}\ h\to 0,$

t. j. existuje konštanta $C\in \mathbb {R} _{+},C<\infty$ sodass $|\tau (t;h)|\leq Ch^{p}$ für alle $t\in (t_{0},T)$.
Maximálne poradie konzistencie Minskst $p_{\max }\in \mathbb {N}$ je poradie konzistencie sks sk0s týkajúce sa skr Uvod4 (1.6).
Hansklt es sústava Uvod4n (1. 6), $m>1$, pričom konzistencia je definovaná pomocou skr ${\mathbb {R} }^{m}$ normy $\|\cdot \|$ namiesto množiny sk.

---

Príklad 3.3 Sei $f\in C^{1}([t_{0},T]\times \mathbb {R} )$ ((raz spojito diferencovateľné v $t,y$). Určte poradie konzistencie explicitnej Eulerovej metódy (3.2).

Najprv vypočítame lokálnu chybu. Pre explicitnú Eulerovu metódu platí $\Phi \equiv f$, preto $\tau (t,h)={\frac {1}{h}}{\big (}y(t+h)-y(t)-hf(t,y(t)){\big )}.$
Teraz prevedieme Taylorov rad na $h=0$, $y(t+h)=y(t)+hy'(t)+{\frac {h^{2}}{2}}y''(\xi ),\ \xi \in (t,t+h)$$f(t,y(t))$ za $y'(t)$ podľa úlohy s počiatočnou hodnotou. Dostaneme

${\begin{aligned}\tau (t,h)&=&{\frac {1}{h}}{\Big (}y(t)+hy'(t)+{\frac {h^{2}}{2}}y''(\xi )-y(t)-hy'(t){\Big )}\\&=&{\frac {h}{2}}y''(\xi )\leq {\frac {C}{2}}h={\cal {O}}(h)\ {\mbox{für}}\ h\to 0,\end{aligned}}$

da $y''(\xi )=f'(\xi ,y(\xi ))$ je spojitá funkcia a tá je rovnomerne ohraničená na uzavretom intervale $[t,t+h]$. To znamená, že explicitná Euerova metóda má rád konzistencie 1. $\quad \diamond$ Okrem konzistencie jednokrokovej metódy pre počiatočnú hodnotu problému je dôležitý aj ďalší termín - konvergencia vygenerovaného numerického riešenia $\{\eta _{i}\}_{i=1}^{N_{h}}$ k presnému riešeniu $y(t)$ v bodoch siete $t\in G_{h}.$ Imaginárne sme v predchádzajúcom príklade určili konzistentnosť prvého rádu explicitnej Eulerovej metódy a v príklade 3.2 sme sa presvedčili, že táto metóda konverguje aj pre konkrétnu úlohu s počiatočnou hodnotou.Ako uvidíme neskôr, samotná konzistencia metódy nezaručuje konvergenciu numerického riešenia; vyžaduje sa aj ďalší predpoklad
Konvergencia jednokrokovej metódy sa kvantifikuje pomocou takzvanej globálnej diskretizácie chyby. Tá opisuje skutočnú vzdialenosť numericky vytvorenej postupnosti od presného riešenia:

---

''Definícia 3.4 („Globálna chyba“) Nech $y$ je presné riešenie počiatočnej hodnotovej úlohy (1.6). Jednokroková metóda (3.7) definuje funkciu mriežky takto $\eta$
$\eta (\cdot ;h):G_{h}\to \mathbb {R} ^{m}$, $\eta _{0}:y(t_{0}),\ \eta _{i+1}=\eta _{i}+h\Phi (t_{i},\eta _{i};h;f),\ i=0,1,\ldots N_{h}-1$.
globálna chyba diskretizácie v bode $t\in G_{h}$ je definovaná ako

$e(t;h)=y(t)-\eta (t;h).\qquad (3.9)$

---

V každom kroku numerického postupu sa v príslušnom bode získa aproximácia riešenia, ktorá sa použije v ďalších krokoch. Na začiatku ($t=t_{0}$) vezmeme presnú počiatočnú hodnotu $y(t_{0})$ a v prvom kroku ESV získame numerické riešenie $\eta _{1}$ v $t_{1}$, kde $\eta _{1}\approx y(t_{1})$. Tá sa v ďalšom kroku použije na výpočet $\eta _{2}$, ale v tomto (druhom) kroku je už počiatočná hodnota chybná, ako v $\eta _{1}\neq y(t_{1})$. Preto numerické riešenie, ktoré sa skutočne vygeneruje od druhého kroku, už nebude zodpovedať numerickému riešeniu ${\tilde {\eta }}$ (vychádzajúcemu z presnej počiatočnej hodnoty, pozri poznámku 3.1 bod ii). Okrem lokálnej chyby diskretizácie sú do výpočtu numerického kroku zahrnuté aj nesprávne počiatočné hodnoty, t. j. ďalšia nepresnosť. V každom kroku výpočtu sa chyba kumuluje do globálnej diskretizácie $e(t_{i};h)$. Tá sa preto líši od lokálnej chyby $\varepsilon (t_{i};h)$ pre$i=2,\ldots N_{h}$. Konvergentná jednokroková metóda sa však vyznačuje primerane malou globálnou diskretizovanou chybou, ktorá zaniká pre veľkosť kroku $h\to 0$. Kumulácia chyby, lokálnej chyby procesu a globálnej diskretizácie je znázornená na nasledujúcom diagrame.

Kvalita konvergencie jednokrokového postupu je definovaná malosťou globálnej diskretizácie nasledujúcim spôsobom.

Obrázok 3.5: Lokálna a globálna chyba diskretizácie, porovnanie.

---

'Definícia 3.5 (KonvergenciaKonvergencia)

Sei $e(t;h)$ globálnu chybu jednostupňového postupu.
Jednokrokový postup (3.7) sa nazývakonvergentpre úlohu s počiatočnou hodnotou (1.6), ak$\max _{t\in G_{h}}\|e(t;h)\|\to 0\ {\mbox{für}}\ h\to 0,$ popisuje tu $\|\cdot \|$ eine Norm in $\mathbb {R} ^{m}$.
Jednokroková metóda (3.7) má minimálny rád konvergencie p $\in \mathbb {N}$ vzhľadom na úlohu počiatočnej hodnoty (1.6), ak

$\max _{t\in G_{h}}\|e(t;h)\|={\cal {O}}(h^{p})\ {\mbox{für}}\ h\to 0.$
Maximálny minimálny rád konvergencie $p_{\max }\in \mathbb {N}$ sa nazýva rád konvergencie jednokrokovej metódy vzhľadom na počiatočnú hodnotu problému (1.6).

Imaginárne metódy V nasledujúcom texte budeme študovať postačujúcu podmienku konvergencie jednokrokovej metódy. Nápomocná nám bude nasledujúca lema.

---

Lema 3.1

Nech $\{v_{i}\}_{i=0}^{\infty }$ je reálna postupnosť a nech rekurzívny vzťah ${\begin{aligned}v_{0}&=&0,\\|v_{n+1}|&\leq &(1+\alpha )|v_{n}|+\beta ,\quad n=0,1,\ldots \end{aligned}}\qquad (3.10)$

kde $\alpha >0,\,\beta \geq 0.$ Potom platí nasledujúci odhad: $|v_{n}|\leq {\frac {\beta }{\alpha }}(e^{n\alpha }-1)\qquad (3.11)$

"Dôkaz. Je zrejmé, že tvrdenie platí pre ${\textstyle n=0}$, pretože ${\textstyle |v_{0}|=0\leq {\frac {\beta }{\alpha }}(e^{0}-1)=0.}$
Pre ${\textstyle n=1}$ platí po rekurzívnom kroku (3.10) $$|v_{1}|\leq (1+\alpha )\cdot 0+\beta =\beta$$.

Daľej ${\textstyle e^{\alpha }>1+\alpha }$, alebo ${\textstyle {\frac {e^{\alpha }-1}{\alpha }}>1}$ platí pre ${\textstyle \alpha >0}$ (dopočítajte! ), dostaneme z horného ${\textstyle |v_{1}|\leq \beta <\beta {\frac {e^{\alpha }-1}{\alpha }}}$.
Po postupe rekurzie
${\textstyle |v_{2}|\leq (1+\alpha )|v_{1}|+\beta ={\Big (}(1+\alpha )+1{\Big )}\beta }$,
${\textstyle |v_{n}|\leq {\Big (}(1+\alpha )^{n-1}+(1+\alpha )^{n-2}+\ldots +(1+\alpha )+1{\Big )}\beta =\beta {\frac {1-(1+\alpha )^{n}}{1-(1+\alpha )}}={\frac {\beta }{\alpha }}{\Big (}(1+\alpha )^{n}-1{\Big )}.}$ a tak ďalej.
Takže pomocou rekurzie (3. 10) po ${\textstyle n}$ krokoch a sumárnym vzorcom pre geometrický rad $$1+\alpha )<1+\alpha +{\frac {\alpha ^{2}}{2!}}+{\frac {\alpha ^{3}}{3!}}+\ldots =e^{\alpha }$$

Ak odhadneme horný výraz ${\textstyle (1+\alpha )}$ smerom nahor pomocou ${\textstyle (1+\alpha )<1+\alpha +{\frac {\alpha ^{2}}{2!}}+{\frac {\alpha ^{3}}{3!}}+\ldots =e^{\alpha }}$, dostaneme napokon tvrdenie lemy. ◻

---

''Veta 3.1 (Miestna konvergencia)

Nech ${\textstyle y\in C^{1}[t_{0},T]}$ je jedinečné spojito diferencovateľné riešenie AWA (1.6) a množina ${\textstyle S_{h,\gamma }}$ pás ${\textstyle \gamma }$ okolo presného riešenia: $$S_{h,\gamma }:=\{(t,\eta ),\ t\in G'_{h},\eta \in \mathbb {R} ^{m}{\mbox{(Gitterfunktion)}},{\mbox{mit }}\|\eta (t)-y(t)\|\leq \gamma ,\ 0<h<T-t_{0}\}.$$ Platí tiež

1. ${\textstyle \Phi }$ je rovnomerne Lipschitzovo spojité na ${\textstyle S_{h,\gamma }}$ s konštantou ${\textstyle M>0}$, t.j. ${\textstyle M>0}$. h. $$\|\Phi (t,\eta _{1};h;f)-\Phi (t,\eta _{2};h;f)\|\leq M\|\eta _{1}-\eta _{2}\|\quad \forall \ (t,\eta _{1}),\,(t,\eta _{2})\in S_{h,\gamma },$$
2. ${\textstyle \Phi }$ majú minimálny rád konzistencie ${\textstyle p}$ vzhľadom na AWA (1.6), t. j. existuje ${\textstyle K>0}$ s $$\max _{t\in G'_{h}}\|\tau (t;h)\|\leq Kh^{p},\,{\mbox{für}}\,0<h<T-t_{0}.$$

Potom existuje ${\textstyle {\bar {h}}\in [0,h_{0}]}$, takže pre ${\textstyle \forall t\in G_{h}}$ a všetky ${\textstyle 0<h\leq {\bar {h}}\leq h_{0}}$ platí $$\|e(t;h)\|\leq {\frac {K}{M}}h^{p}{\Big (}e^{M(t-t_{0})}-1{\Big )}.\qquad (3.12)$$

Obrázok 3.6: Súbor ${\textstyle S_{h,\gamma }}$ (${\textstyle \gamma }$ pásy)

---

Dôkaz. Lipschitzova spojitosť funkcie metódy je podstatná pre dôkaz konvergencie konzistentnej jednokrokovej metódy. Množina ${\textstyle S_{h,\gamma }}$ zaručuje lokálnu Lipschitzovu spojitosť ${\textstyle \Phi }$. Je zrejmé, že ${\textstyle y(t_{0})\in S_{h,\gamma }}$ a ${\textstyle y(t)\in S_{h,\gamma }}$ pre ${\textstyle t\in G'_{h}}$. Aproximačná metóda (3. 7) môže viesť z ${\textstyle \gamma }$ pásu ${\textstyle S_{h,\gamma }}$ (kde začínala v ${\textstyle t_{0}}$), t.j. ${\textstyle \eta _{i+1}=\eta _{i}+h\Phi (t,\eta ,h,f)\notin S_{h,\gamma }}$ pre ${\textstyle \eta _{i}\in S_{h,\gamma }}$. Aby sme tomu zabránili, upravíme jednokrokový postup tak, že hodnoty mriežkovej funkcie ${\textstyle \eta (t)}$ stiahneme pomocou ${\textstyle \|\eta (t)-y(t)\|>\gamma }$ na okraj ${\textstyle S_{h,\gamma }}$. Túto modifikáciu si najprv znázorníme graficky. Zodpovedajúca modifikovaná funkcia procesu je: $${\begin{aligned}{\hat {\Phi }}(t,{\hat {\eta }},h,f)={\begin{cases}\Phi (t,{\eta (t)},h,f)\quad {\mbox{falls}}\ (t,\eta )\in S_{h,\gamma },\\\Phi (t,y(t)+\gamma ,h,f)\quad {\mbox{falls}}\ (t,\eta )\notin S_{h,\gamma },\ \eta (t)>y(t)+\gamma ,\\\Phi (t,y(t)-\gamma ,h,f)\quad {\mbox{falls}}\ (t,\eta )\notin S_{h,\gamma },\ \eta (t)<y(t)-\gamma .\end{cases}}\end{aligned}}$$

Pomocou tejto funkcie metódy získame dvojice ${\textstyle (t,{\hat {\eta }}(t))\in S_{h,\gamma }}$.
Keďže pôvodná ${\textstyle \Phi }$ Lipschitzova funkcia bola spojitá na ${\textstyle S_{h,\gamma }}$, táto vlastnosť je zachovaná pre ${\textstyle {\hat {\Phi }}}$.

Teraz skúmame globálnu diskretizovanú chybu ${\textstyle {\hat {e}}_{i+1}:={\hat {e}}(t_{i+1},h)=y(t_{i+1})-{\hat {\eta }}_{i+1}}$ aproximačnej postupnosti ${\textstyle {\hat {\eta }}_{i}}$ (modifikovanej metódy). Es gilt $${\hat {\eta }}_{i+1}={\hat {\eta }}_{i}+h{\hat {\Phi }}(t,{\hat {\eta }}_{i};h;f),\quad i=0,1,\ldots N_{h}-1,\ {\hat {\eta }}_{0}=y(t_{0}).\qquad (3.13)$$

Pre presné riešenie porovnajte (3.8), $$y(t_{i+1})=y(t_{i})+h{\hat {\Phi }}(t_{i},y(t_{i});h;f)+h{\hat {\tau }}(t_{i},h).$$

Lokálna chyba skrátenia modifikovanej metódy sa rovná pôvodnej, $${\hat {\tau }}(t;h)={\frac {1}{h}}{\Big (}y(t+h)-y(t)-h{\hat {\Phi }}(t,y(t),....){\Big )}={\frac {1}{h}}{\Big (}y(t+h)-y(t)-h{\Phi }(t,y(t),...){\Big )}={\tau }(t;h),$$

keďže ${\textstyle \Phi }$ a ${\textstyle {\hat {\Phi }}}$ sa líšia len v druhom argumente, ktorý je tu totožný (presné riešenie), pozri (3.8). Preto pre presné riešenie dostávame $$y(t_{i+1})=y(t_{i})+h{\hat {\Phi }}(t_{i},y(t_{i});h;f)+h{\tau }(t_{i},h).$$

Ak do ${\textstyle y(t_{i+1})}$ a ${\textstyle {\hat {\eta }}_{i+1}}$ vložíte ${\textstyle {\hat {e}}_{i+1}}$, dostaneme $${\hat {e}}_{i+1}=y(t_{i})-{\hat {\eta }}_{i}+h{\big (}{\hat {\Phi }}(t_{i},y(t_{i});h;f)-{\hat {\Phi }}(t,{\hat {\eta }}_{i};h;f){\big )}+h{\tau }(t_{i},h).$$

Pomocou trojuholníkovej nerovnosti vektorovej normy, pozri definíciu 2. 2, Lipschitzovej spojitosti ${\textstyle {\hat {\Phi }}}$ vzhľadom na druhú premennú (predpoklad i)) a predpoklad ii) dostanete odhad $$\|{\hat {e}}_{i+1}\|\leq \|{\hat {e}}_{i}\|+hM\|y(t_{i})-{\hat {\eta }}_{i}\|+Kh^{p+1}=\|{\hat {e}}_{i}\|(1+hM)+Kh^{p+1}.$$

Použitím odhadu (3.11) pre rekurentné postupnosti nakoniec dostaneme $$\|{\hat {e}}_{i}\|\leq {\frac {Kh^{p}}{M}}(e^{ihM}-1),\quad i=0,1,\ldots N_{h}.$$

Keďže ${\textstyle ih=t_{i}-t_{0}}$, (3.12) je najprv dokázaný pre modifikovanú (v ${\textstyle S_{h,\gamma }}$) obmedzenú metódu (3.13).

Na riešenie (3. 12) v prípade ${\textstyle e_{i}=e(t,h),\,t\in G_{h}}$ si všimnite, že že ${\textstyle t_{i}-t_{0}\leq T-t_{0}}$ a preto ${\textstyle \|{\hat {e}}_{i}\|\leq {\frac {K}{M}}(e^{(T-t_{0})M}-1)h^{p}=Ch^{p},\ C>0}$. Teraz zvoľte veľkosť kroku ${\textstyle {h}<h_{0}}$ dostatočne malú, aby ${\textstyle Ch^{p}\leq \gamma }$ pre vopred danú ${\textstyle \gamma >0}$. To znamená, že globálna chyba $$\|{\hat {e}}_{i}\|\equiv \|y(t_{i})-{\hat {\eta }}(t_{i})\|\leq \gamma \ {\mbox{ pre všetky}}\ i=0,1,\ldots N_{h}.$$

V tomto prípade ESV (3.13) nikdy nepovedie mimo ${\textstyle \gamma }$ pásu ${\textstyle S_{h,\gamma }}$ a funkciu metódy netreba upravovať, ${\textstyle {\hat {\Phi }}=\Phi .}$ Z toho vyplýva, že pre dostatočne malú veľkosť kroku ${\textstyle h}$, ${\textstyle {\hat {\eta }}_{i}=\eta _{i}}$ a ${\textstyle {\hat {e}}_{i}=e_{i}}$ je dokázané pre všetky ${\textstyle i=0,1,\ldots N_{h}}$ (3.12).

Poznámka 3.2 Závery a poznámky k tvrdeniu 3.1:

1. Záver odhadu globálnej chyby (3.12) vo vete 3.1 je
   ${\textstyle \|e(t;h)\|\leq Ch^{p},}$ alebo ${\textstyle \max _{t\in G_{h}}\|e(t;h)\|={\cal {O}}(h^{p})}$. Teda jednokroková metóda (3.7) má minimálny rád konvergencie ${\textstyle p}$ vzhľadom na AWA (1.6), porovnaj definíciu 3.5.
2. Konzistencia a lokálna Lipschitzova spojitosť funkcie metódy ${\textstyle \Phi }$ v páse ${\textstyle S_{h,\gamma }}$ sú postačujúce podmienky pre (lokálnu) konvergenciu jednokrokovej metódy voči jednoznačnému presnému riešeniu.
3. V hornej hranici globálnej chyby diskretizácie hrá úlohu faktor
   ${\textstyle h^{p}(e^{(t-t_{0})M}-1),\ t\in G_{h}}$. Je to tým väčšie ${\textstyle t}$, čím väčšia môže byť globálna chyba (chyba sa kumuluje) a čím menšiu veľkosť kroku ${\textstyle h}$ treba zvoliť, aby sa chyba obmedzila. Dobrá metóda však poskytuje globálnu chybu, ktorá je uspokojivá aj pre "veľké" ${\textstyle h}$.

''Príklad 3.4 ("Explicitná Eulerova metóda")

Pre metódu (3.2)
platí nasledovné ${\textstyle \Phi (t,y;h;f)=f(t,y)}$. Táto metóda má rád konzistencie 1 pre ${\textstyle f\in C^{1}}$, pozri príklad (3.3). Da ${\textstyle f}$ je spojito diferencovateľný v ${\textstyle y}$, ${\textstyle f}$ je tiež (lokálne) Lipschitzovo spojitý (presvedčte sa o tom aplikáciou vety o strednej hodnote).

Z toho vyplýva, že existuje jedinečné presné riešenie AWA a explicitná Eulerova metóda má (minimálny) rád konvergencie 1. ${\textstyle \quad \diamond }$

'Príklad 3.5 (vylepšená (modifikovaná) Eulerova metóda)

Funkcia skreslenia vylepšenej Eulerovej metódy je ${\textstyle \Phi (t,y;h;f)=f(t+{\frac {h}{2}},y+{\frac {h}{2}}f(t,y))}$, vergleiche (3.4).
Nech ${\textstyle f\in C^{1}\implies f}$ spĺňa Lipschitzovu podmienku (lokálne).
Teraz ukážeme, že ${\textstyle \Phi }$ je tiež Lipschitzovo spojitý: Pomocou definície vzorca procesnej funkcie, dvojitej aplikácie Lipschitzovej spojitosti $f$ a trojuholníkovej nerovnosti dostaneme ${\begin{aligned}\|\Phi (t,y_{1};h;f)-\Phi (t,y_{2};h;f)\|&=&\left\|f\left(t+{\frac {h}{2}},y_{1}+{\frac {h}{2}}f(t,y_{1})\right)-f\left(t+{\frac {h}{2}},y_{2}+{\frac {h}{2}}f(t,y_{1})\right)\right\|\\&\leq &L\left\|\left(y_{1}+{\frac {h}{2}}f(t,y_{1})\right)-\left(y_{2}+{\frac {h}{2}}f(t,y_{2})\right)\right\|\\&\leq &L\|y_{1}-y_{2}\|+L{\frac {h}{2}}\left\|f(t,y_{1})-f(t,y_{2})\right\|\\&\leq &L(1+L{\frac {h}{2}})\|y_{1}-y_{2}\|={\tilde {L}}\|y_{1}-y_{2}\|,\end{aligned}}$

t. j. $\Phi$ spĺňa Lipschtizovu podmienku s konštantou ${\tilde {L}}:=L(1+L{\frac {h}{2}}).$

Teraz určíme poriadok konzistencie tejto metódy. Predpokladáme, že ${\textstyle f\in C^{2}}$. Podobne ako v príklade 3.3 vypočítame lokálnu chybu $$\tau (t,h)={\frac {1}{h}}{\Big (}y(t+h)-y(t)-h{\big [}f(t+{\frac {h}{2}},y+{\frac {h}{2}}f(t,y)){\big ]}{\Big )}.$$

Teraz nahradíme $y(t+h)$ a funkciu procesu $f(t+{\frac {1}{h}},y+{\frac {1}{h}}f(t,y))$ s Taylorovým radom okolo bodu vývoja ${\textstyle h=0}$, $$y(t+h)=y(t)+hy'(t)+{\frac {h^{2}}{2}}y''(t)+{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(\theta )\%+{\frac {h^{4}}{4!}}y^{(iv)}(\theta ),\ \theta \in (t,t+h),$$ ${\begin{aligned}f{\Big (}t+{\frac {,}{y}}+{\frac {f}{(}}t,y){\Big )}&=&f(t,y)\%(t+{\frac {,}{y}}+{\frac {f}{(}}t,y))|_{h=0}+h{\frac {df(t+{\frac {,}{y}}+{\frac {f}{(}}t,y))}{dh}}{\Big |}_{h=0}+{\frac {h^{2}}{2!}}{\frac {d^{2}f(t+{\frac {,}{y}}+{\frac {f}{(}}t,y))}{dh^{2}}}{\Big |}_{h=0}\%+{\frac {h^{3}}{3!}}{\frac {d^{3}f}{dh^{3}}}+\ldots \&=&f(t,y)+h{\Big (}{\frac {1}{2}}f_{t}+{\frac {f}{2}}f_{y}{\Big )}(t,y)+{\frac {h^{2}}{2!}}\%{\Big (}{\frac {h}{2}}{\Big )}^{2}{\Big (}{\frac {1}{4}}f_{tt}+2{\frac {f}{4}}f_{ty}+{\frac {f^{2}}{4}}f_{yy}{\Big )}(\theta _{1},\theta _{2})\end{aligned}}$

s $\theta _{1}\in (t,t+{\frac {)}{,}}\ \theta _{2}\in (y+{\frac {f}{(}}t,y)).$ Tu $f_{t}:=\partial _{t}f(\cdot ,\cdot ),\,f_{y}:=\partial _{y}f(\cdot ,\cdot ),\,f_{ty}:=\partial _{ty}f(\cdot ,\cdot$ zodpovedajúce prvej a druhej parciálnej derivácii $f(t,y)$ k ${\textstyle t,\ y}$.
Nachádzame $y(t+h)$ a $f(t+{\frac {,}{y}}+{\frac {f}{(}}t,y))$ po vložení $\tau$, pričom zohľadníme ${\begin{aligned}y'(t)&=&f(t,y(t))\quad {\mbox{und}}\\y''(t)&=&f'(t,y(t)=f_{t}(t,y)+f_{y}(t,y)y'(t)\equiv f_{t}(t,y)+f_{y}(t,y)f(t,y)\end{aligned}}\qquad (3.14)$

dostaneme $${\begin{aligned}\tau (t,h)&=&y'(t)+{\frac {h}{2}}y''(t)+{\frac {h^{2}}{6}}y'''(\theta )-{\Big (}\underbrace {f(t,y)} _{y'(t)}+{\frac {h}{2}}(\underbrace {f_{t}+ff_{y}} _{y''(t)})(t,y)+{\frac {h^{2}}{8}}(f_{tt}+2ff_{ty}+f^{2}f_{yy})(\theta _{1},\theta _{2}){\Big )}\\&=&{\frac {h^{2}}{6}}y'''(\theta )-{\frac {h^{2}}{8}}(f_{tt}+2ff_{ty}+f^{2}f_{yy})(\theta _{1},\theta _{2}).\%+{\cal {R}}(h^{3})\ {\mbox{für}}\ h\to 0,\end{aligned}}$$

Podľa predpokladu je ${\textstyle f(t,y)}$ dvakrát spojito diferencovateľný v ${\textstyle t}$ a ${\textstyle y}$ a ${\textstyle y(t)}$ je trikrát spojito diferencovateľný v ${\textstyle t}$, takže existuje konštanta ${\textstyle C>0}$ s $$\|\tau (t,h)\|\leq \|{\frac {h^{2}}{6}}y'''(\theta )\|+\|{\frac {h^{2}}{8}}(f_{tt}+2ff_{ty}+f^{2}f_{yy})(\theta _{1},\theta _{2})\|\leq Ch^{2}.$$

To znamená, že ${\textstyle \tau (t,h)={\cal {O}}(h^{2})}$, minimálny rád konzistencie je 2.

Teraz skúmame, či je možné dosiahnuť vyšší rád konzistencie. Na to treba Taylorov rad rozšíriť o ďalšiu mocninu ${\textstyle h}$. V tomto prípade sa ${\textstyle y'''}$ vyhodnocuje v ${\textstyle t}$, druhý diferenciál ${\textstyle f_{tt}+2ff_{ty}+f^{2}f_{yy}}$ sa vyhodnocuje v ${\textstyle (t,y)}$ a Taylorove zvyšky (obsahuje ${\textstyle h^{4}}$) v ${\textstyle \theta }$ alebo ${\textstyle (\theta _{1},\theta _{2})}$. Po vložení rozšíreného radu do ${\textstyle \tau (t,h)}$ dostaneme podobne ako vyššie $$\tau (t,h)={\frac {h^{2}}{6}}y'''(t)-{\frac {h^{2}}{8}}(f_{tt}+2ff_{ty}+f^{2}f_{yy})(t,y)+{\cal {R}}(h^{3}),$$ kde ${\textstyle {\cal {R}}(h^{3})}$ obsahuje Taylorove zvyšky s ${\textstyle h^{3}}$. Výsledkom pokračovania (3.14) je $${\begin{aligned}y'''(t)&=&f''(t,y(t))={\frac {d{\big (}f_{t}(t,y)+f_{y}(t,y)f(t,y){\big )}}{dt}}\\&=&(f_{tt}+f_{ty}y'+f_{yt}f+f_{y}f_{t}+f_{yy}y'f+f_{y}^{2}y')(t,y)\\&{\stackrel {y'=f}{=}}&(f_{tt}+2f_{ty}f+f_{y}f_{t}+f_{yy}f^{2}+f_{y}^{2}f)(t,y)\\neq&(f_{tt}+2ff_{ty}+f^{2}f_{yy})(t,y).\end{aligned}}\qquad (3.15)$$

Z toho vyplýva, že kvadratické členy vo výraze pre ${\textstyle \tau (t,h)}$, $${\frac {1}{6}}y'''(t)-{\frac {1}{8}}(f_{tt}+2ff_{ty}+f^{2}f_{yy})(t,y)\neq 0.$$ To znamená, že maximálny minimálny rád konzistencie (rad konzistencie) tejto metódy zostáva 2. Nakoniec dostaneme rad konvergencie 2 vylepšenej Eulerovej metódy s Lipschtitzovou spojitosťou funkcie metódy. ${\textstyle \quad \diamond }$

Na záver tejto kapitoly teraz zhrnieme postup určenia rádu zhody jednokrokovej metódy:

1. Vypočítajte Taylorov rozvoj presného riešenia v bode ${\textstyle t}$, $$y(t+h)=y(t)+hy'(t)+\ldots$$
2. Vypočítajte Taylorov rozvoj procesnej funkcie v bode ${\textstyle h=0}$, $$\phi (t,y;h;f)=\phi (t,y;0;f)+h{\frac {d\phi }{dh}}(t,y;h;f)|_{h=0}+\ldots$$
3. Vložte Taylorov rad do definície lokálnej chyby $$\tau (t,h)\equiv {\frac {1}{h}}{\Big (}y(t+h)-y(t)-h{\big [}\Phi (t,y;h;f){\big ]}{\Big )}.$$
4. Nahraďte vyskytujúce sa derivácie ${\textstyle y}$ ako v (3.14) a (3.15) a porovnajte výsledné koeficienty pri ${\textstyle h,h^{2},\ldots ,h^{p-1}}$ v ${\textstyle \tau }$. Ak sú tieto nulové, metóda má minimálny poriadok konzistencie ${\textstyle p}$.
5. Preskúmajte možnosť vyššieho rádu konzistencie, analyzujte výsledný koeficient pri ${\textstyle h^{p}}$.

''Poznámka 3.3

V príklade 3.5 sme videli, že niektoré členy z ${\textstyle y'''}$ s
${\textstyle f_{tt}+2ff_{ty}+f^{2}f_{yy}}$ pozri (3.15). To vedie k nasledujúcej úvahe. Ak by Taylorov rozvoj procesnej funkcie ${\textstyle \Phi }$ obsahoval konštantu ${\textstyle 1/6}$ v člene s ${\textstyle h^{2}}$, členy ${\textstyle f_{tt}+2ff_{ty}+f^{2}f_{yy}}$ by úplne zanikli a vo vedúcom chybovom člene by bola len časť ${\textstyle y'''}$. Der lokaler Fehler ${\textstyle \tau }$ wäre so minimal. Verfahren, die Metódy, ktoré minimalizujú konštantu vedúceho chybového člena, sa nazývajú aj optimálne. Videli sme, že modifikovaná Eulerova metóda (explicitné pravidlo stredového bodu) nie je z tohto hľadiska optimálna. Imanie koeficientu metódy je optimálne." V nasledujúcej kapitole sa oboznámime s jednokrokovou Runge-Kutta metódou, ktorej konštrukcia s viacerými stupňami voľnosti je vhodná pre koeficienty metódy. Voľné parametre možno zvoliť tak, aby výsledná metóda mala čo najvyšší rád a čo najmenšie prvky vedúcej chyby.