Obyčajné differenciálne rovnice/Lineárne systémy obyčajných diferenciálnych rovníc

Lineárne systémy obyčajných sk5

Uvažujeme nasledujúcisksystém sk5.
Pre danú spojitú maticovú funkciu ${\textstyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m\times m}}$, spojitá funkcia skr pravej strane ${\textstyle {\vec {b}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$ und ${\textstyle {\vec {y}}_{0}\in \mathbb {R} ^{m}}$ finsk die Uvod2 ${\textstyle {\vec {y}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$ skr Uvod4 $${\begin{aligned}{\vec {y}}\,'(t)=A(t){\vec {y}}(t)+{\vec {b}}(t),\\{\vec {y}}(t_{0})={\vec {y}}_{0}.\end{aligned}}\qquad (2.11)$$

( V tomto odseku používame ${\textstyle {\vec {y}}(t)}$ na označenie vektorovej funkcie a jej zložiek s ${\textstyle y_{i}}$, ${\textstyle {\vec {y}}(t)=(y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t))^{T}}$).

Všetky Uvod2s ${\textstyle {\vec {y}}}$ sks nehomogénne problémy (2. 11) finskt ako superpozícia (súčet) skr Uvod2 ${\textstyle {\vec {y}}_{H}}$ skr homogénne Uvod4 $${\begin{aligned}{\vec {y}}\,'(t)=A(t){\vec {y}}(t),\\{\vec {y}}(t_{0})={\vec {y}}_{0}\end{aligned}}\qquad (2.12)$$

a špeciálny Uvod2 ${\textstyle {\vec {y}}\,^{\star }}$ skr nehomogénny Uvod4 (2.11) s homogénnymi počiatočnými podmienkami ${\textstyle {\vec {y}}(t_{0})=0}$. To znamená, že každýsk Uvod2 možno zapísať ako $${\vec {y}}(t)={\vec {y}}_{H}(t)+{\vec {y}}\,^{\star }(t).$$

a špeciálny Uvod2 ${\textstyle {\vec {y}}\,^{\star }}$ skr nehomogénny Uvod4 (2.11) s homogénnymi počiatočnými podmienkami ${\textstyle {\vec {y}}(t_{0})=0}$. To znamená, že každýsk Uvod2 možno zapísať ako $${\vec {y}}(t)={\vec {y}}_{H}(t)+{\vec {y}}\,^{\star }(t).$$

Najprv sa budeme zaoberať skm homogénnym systémom (2.12) a budeme hľadať Uvod2 tohto systému. Uvažujme mapovanie ${\textstyle {\cal {A}}}$, ktoré mapuje skn počiatočný vektor ${\textstyle {\vec {y}}_{0}}$ na Uvod2 ${\textstyle {\vec {y}}}$ systému (2.12). Z príkladu 2.1 vieme, že lineárny systém (2.12) je globálne riešiteľný, ak je norma matice ${\textstyle A}$ ohraničená, čo je skr prípad. Mapovanie ${\textstyle {\cal {A}}:{\vec {y}}_{0}\mapsto {\vec {y}}}$ je teda bijektívne (a lineárne), a teda skr Uvod2s priestor má tiež dimenziu ${\textstyle m}$. To však zároveň znamená, že mapovanie ${\textstyle {\cal {A}}}$ obsahuje ${\textstyle m}$ bázové vektory ${\textstyle {\vec {e}}_{i}=(0,\ldots ,\underbrace {1} _{i},\ldots ,0),\,i=1,\ldots ,m}$ na ${\textstyle m}$ lineárne nezávislé vektoryskt. Používame sks Inskxes ${\textstyle i}$ na označenie každého z nich ako ${\textstyle {\vec {y}}\,^{i}}$. Máme teda ${\textstyle m}$ nezávislých Uvod2s

$${\begin{aligned}({\vec {y}}\,^{i})'(t)=A(t){\vec {y}}\,^{i}(t),\\{\vec {y}}\,^{i}(t_{0})={\vec {e}}_{i},\ i=1,\ldots m.\end{aligned}}\qquad (2.13)$$

Definícia 2.3 (Fundamentálna matica). Diet Fundamentálna matica je pekná ${\textstyle m\times m}$-Matica, skren Spálten diet Uvod2en ${\textstyle {\vec {y}}\,^{i}}$ von (2. 13) bilskn, $$Y(t)=({\vec {y}}\,^{1}(t),\ldots ,{\vec {y}}\,^{m}(t))={\begin{pmatrix}y_{1}^{1}(t),&\ldots &,y_{1}^{m}(t)\\\vdots \ &&\vdots \\y_{m}^{1}(t),&\ldots &,y_{m}^{m}(t)\end{pmatrix}}.$$

Pomocou základnej matice skr možno homogénny systém Uvod2 sks so všeobecnými počiatočnými podmienkami (2.12) zapísať ako $${\vec {y}}_{H}(t)=Y(t){\vec {y}}_{0}.\qquad (2.14)$$ Základná matica daná Uvod2 z (2.13) spĺňa ${\textstyle t=t_{0}}$ ${\textstyle Y(t_{0})={\bf {I}}}$. Základnú maticu môžete definovať aj pomocouskar bázy, t. j.skar počiatočnej podmienky v (2.13) sk, napríklad vziať skn vlastný priestor konštantnej matice, ako je opísané v nasledujúcej časti. V tomto všetkom ${\textstyle Y(t_{0})\neq {\bf {I}}}$, ale regulárne. V tomto prípade možno homogénny systém Uvod2 sks všeobecnými počiatočnými podmienkami (2.12) určiť ako $${\vec {y}}_{H}(t)=Y(t)Y(t_{0})^{-1}{\vec {y}}_{0}.\qquad (2.15)$$

Dôležitou vlastnosťou základnej matice skr je nasledujúca lemasks:

---

Lemma 2.3. Ak ${\textstyle sktY(s)\neq 0}$ platí pre ${\textstyle s\in \mathbb {R} }$, potom ${\textstyle sktY(t)\neq 0}$ platí pre všetky ${\textstyle t\in \mathbb {R} }$.

---

Dôkaz. Dôkaz vykonal Wiskrspruch. Ak ${\textstyle sktY(s)\neq 0}$ pre ${\textstyle s\in \mathbb {R} }$ a existuje ${\textstyle \tau }$ s ${\textstyle sktY(\tau )=0}$, potom existuje vektor ${\textstyle {\vec {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{m},\ {\vec {\alpha }}\neq 0}$ mit ${\textstyle Y(\tau ){\vec {\alpha }}=0}$. Vektor ${\textstyle Y(\tau ){\vec {\alpha }}={\big (}\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}y_{1}^{i}(\tau ),\ldots ,\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}y_{n}^{i}(\tau ){\big )}^{T}}$ je lineárna kombinácia skr Uvod2en sks systémov ${\textstyle {\vec {y}}\,'=A(t){\vec {y}}(t)}$, t.j. aj Uvod2 tejto sústavy, ktorá zaniká v čase ${\textstyle t=\tau }$. Lineárny systém je jedenskutig riešiteľný, a teda jedenskutig Uvod2, ktorý v súčasnosti ${\textstyle t=\tau }$ zaniká, triviálny Uvod2 ${\textstyle {\vec {y}}={\bf {0}}}$. To vedie k Wiskr tvrdeniu k ${\textstyle sktY(s)\neq 0}$, pretože potom Uvod2 tiež zanikne v čase ${\textstyle t=s}$, ${\textstyle Y(s){\vec {\alpha }}=0}$ ale ${\textstyle {\vec {\alpha }}\neq 0}$. ◻

Vyššie uvedená lema zaručuje pre homogénny systém (2.13), že súvisiaca fundamentálna matica zostáva regulárna aj v ${\textstyle t>t_{0}}$ (${\textstyle Y(t_{0})={\bf {I}}}$).

Špeciálna Uvod2 sk nehomogénneho systému (2.11) s homogénnymi počiatočnými hodnotami ${\textstyle {\vec {y}}\,^{\star }(t_{0})={\bf {0}}}$ je $${\vec {y}}\,^{\star }(t)=Y(t)\int _{t_{0}}^{t}Y^{-1}(s)b(s)ds.\qquad (2.16)$$

Toto sa dá ľahko vypočítať. Po skm derivácii skr pravej strany na ${\textstyle t}$ dostaneme $$({\vec {y}}\,^{\star })'(t)=Y'(t)\int _{t_{0}}^{t}Y^{-1}(s)b(s)ds+Y(t)Y^{-1}(t)b(t).$$ Zároveň platí integrál ${\textstyle \int _{t_{0}}^{t}Y^{-1}(s)b(s)ds=Y^{-1}(t){\vec {y}}\,^{\star }(t)}$, pozri (2. 16), teda celkovo $$({\vec {y}}\,^{\star })'(t)=Y'(t)Y^{-1}(t){\vec {y}}\,^{\star }(t)+b(t).$$ Keďže základná matica ${\textstyle Y(t)}$ pozostáva z skn Uvod2en z (2.13), platí ${\textstyle Y'(t)=A(t)Y(t)}$. Dosadením do pravej strany skr hornej rovnice nakoniec dostaneme $$({\vec {y}}\,^{\star })'(t)=A(t){\vec {y}}\,^{\star }(t)+b(t),$$ takže ${\textstyle {\vec {y}}\,^{\star }}$ z (2. 16) je Uvod2 z (2.11) s ${\textstyle {\vec {y}}\,^{\star }(t_{0})={\bf {0}}}$.

Princíp skr superpozície s skn vzorcami (2.14) alebo (2.15) a (2.16) nám nakoniec poskytuje Uvod2s vzorec pre nehomogénny systém (2.11), $${\vec {y}}(t)=Y(t)Y(t_{0})^{-1}{\vec {y}}_{0}+Y(t)\int _{t_{0}}^{t}Y^{-1}(s)b(s)ds.\qquad (2.17)$$

Na určenie Uvod2 ${\textstyle {\vec {y}}(t)}$ pomocou tohto vzorca treba vypočítať a invertovať základnú maticu ${\textstyle Y(t)}$. Pre všeobecnú ${\textstyle A(t)}$ neexistuje všeobecná explicitná reprezentácia skr fundamentálnej matice. Ak je však ${\textstyle A}$ konštantná matica, možno explicitne určiť Uvod2s ${\textstyle {\vec {y}}^{i}}$, a teda aj fundamentálnu maticu ${\textstyle Y(t)}$. Tento Uvod2s prístup opíšeme v nasledujúcej časti.