Obyčajné differenciálne rovnice/Lineárne systémy obyčajných diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientami

2.3.1 dericia1

Nech je matica ${\textstyle A(t)}$ v (2.11) konštantná, ${\textstyle A(t)\equiv A\in \mathbb {R} ^{m\times m}.}$ Princíp skr superpozície a z neho vyplývajúci vzorec sk (2.17) platí v tomto špeciálnom prípade a poskytuje Uvod2 sks nehomogénnu úlohu (2.11). skr homogénna rovnica ${\textstyle {\vec {y}}'(t)=A{\vec {y}}(t)}$ súvisiaca fundamentálna matica pozostáva z ${\textstyle m}$ nezávislých vektorovo-hodnotových funkcií ${\textstyle {\vec {y}}^{i},\,i=1,\ldots m,}$ skn Uvod2s $$({\vec {y}}^{i}(t))'=A{\vec {y}}^{i}(t)\qquad (2.18)$$

zodpovedajú . Každúsk anskre Uvod2 tejto homogénnej diferenčnej rovnice možno reprezentovať ako kombináciu ${\textstyle \sum _{i=1}^{m}c_{i}{\vec {y}}^{i}(t),\,c_{i}\in \mathbb {R} }$ týchto Uvod2s. Konštanty ${\textstyle c_{i}}$ súskn neskôr určené počiatočnou podmienkou, sknn musí platiť ${\textstyle {\vec {y}}(t_{0}){\stackrel {}{=}}\sum _{i=1}^{m}c_{i}{\vec {y}}^{i}(t_{0}).}$

Uvod2 z (2.18) určíme pomocou vlastných čísel (EW) a vlastných vektorov (EV) skr matice ${\textstyle A}$. Pre vlastné hodnoty a vlastné vektory matice ${\textstyle A}$ platí nasledovné: $$A{\vec {v}}_{i}=\lambda _{i}{\vec {v}}_{i},\ i=1,\ldots m,$$ kde ${\textstyle \lambda _{i}\in \mathbb {R} }$ oskr ${\textstyle \mathbb {C} }$ skr ${\textstyle i}$- a ${\textstyle {\vec {v}}_{i}\in \mathbb {R} ^{m}}$ oskr ${\textstyle \ C^{m}}$ skr je príslušný vlastný vektor, ${\textstyle {\vec {v}}_{i}\neq {\bf {0}}}$. Po skm preformulovaní skr uvedenej rovnice dostaneme ${\textstyle (A-\lambda _{i}I){\vec {v}}_{i}=0,i=1,\ldots m,}$ z čoho vyplýva, že matica ${\textstyle (A-\lambda _{i}I)}$ je singulárna. To je ekvivalentné s ${\textstyle skt(A-\lambda _{i}I)=0}$. Determinant ${\textstyle skt(A-\lambda I)}$ je polynóm ${\textstyle m}$-tej grasks v ${\textstyle \lambda }$, tzv. charakteristický polynóm ${\textstyle \rho (\lambda )}$. Vlastné čísla ${\textstyle \lambda _{i}}$ sú teda nuly ${\textstyle \rho (\lambda )=skt(A-\lambda I)}$. V nasledujúcomskn najprv uvažujeme skn prípade skr jednoduché nuly ${\textstyle \rho (\lambda )}$, ${\textstyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\neq \ldots \neq \lambda _{m}.}$

Teraz hľadáme skr Uvod2 z (2.18). Ak skr Uvod2svektor ${\textstyle {\vec {y}}\,^{i}(t)=f(t){\vec {v}}_{i}}$ z skm (konštantná) časť vlastného vektora ${\textstyle {\vec {v}}_{i}}$ a skm skalárna časť ${\textstyle f(t)}$, potom na skr pravá strana (2. 18) ${\textstyle f(t)\lambda _{i}{\vec {v}}_{i}}$, a skr nekonštantná, ${\textstyle t-}$ závislá, skalárna časť ${\textstyle f(t)}$ ${\textstyle {\vec {y}}\,^{i}}$ musí obsahovať skn výraz ${\textstyle e^{\lambda _{i}t}}$. Takto sa dostaneme k Uvod2 $${\vec {y}}\,^{i}(t)=e^{\lambda _{i}t}{\vec {v}}_{i}.$$ (uistite sa, že ${\textstyle ({\vec {y}}\,^{i}(t))'=A{\vec {y}}\,^{i}(t)}$).

Nakoniec sk definujeme základnú maticu pre homogénny Dgl (2.18) v prípade jednoduchých vlastných čísel.

---

Definícia 2.4 (Fundamentálna matica pre homogénny Dgl (2.18) v prípade jednoduchých vlastných čísel

---

Definícia 2.4 (Fundamentálna matica pre homogénny Dgl (2.18) v prípade jednoduchých vlastných čísel

Nech vlastné hodnoty matice skr ${\textstyle A}$ sú jednoduché, ${\textstyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\neq \ldots \neq \lambda _{m}.}$ Fundamentálna matica skr homogénnej diferenciálnej rovnice (2.18) je jednoduchá, ${\textstyle \lambda _{2}\neq \ldots \neq \lambda _{m}.}$. 18) má potom nasledujúcisk tvar $$Y(t)=(({\vec {y}}\,^{1}(t),\ldots ,{\vec {y}}\,^{m}(t){\Big )}={\begin{pmatrix}e^{\lambda _{1}t}{\vec {v}}_{1},&e^{\lambda _{2}t}{\vec {v}}_{2},&\ldots &,e^{\lambda _{m}t}{\vec {v}}_{m}\\\ \ \vdots \ &\ \ \vdots \ &&\ \ \vdots \end{pmatrix}},\qquad (2.19)$$

kde ${\textstyle \lambda _{i},\,{\vec {v}}_{i},i=1,\ldots ,m}$ sú (jednoduché) vlastné hodnoty a príslušné vlastné vektory ${\textstyle A}$.

Teraz môžeme určiť jedenskutige Uvod2 sks problém počiatočnej hodnoty. Nech ${\textstyle {\vec {y}}(t)}$ je Uvod2 z (2.18) s ${\textstyle {\vec {y}}(t_{0})={\vec {y}}_{0}}$. Potom ${\textstyle {\vec {y}}(t){\stackrel {}{=}}\sum _{i=1}^{m}c_{i}{\vec {y}}^{i}(t)}$, kde ${\textstyle {\vec {y}}^{i}(t)}$ sú stĺpce skr základnej matice (2. 19) a konštanty ${\textstyle c_{1},\ldots c_{m}}$ sú určené ako Uvod2 sks nasledujúci Lösung lineárny systém, $$Y(t_{0}){\vec {c}}={\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1},&{\vec {v}}_{2},&\ldots &,{\vec {v}}_{m}\\\vdots \ &\vdots \ &&\vdots \\&&&\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}={\vec {y}}_{0}.$$ Tento lineárny systém presne zodpovedá podmienke skr ${\textstyle {\vec {y}}(t_{0}){\stackrel {}{=}}\sum _{i=1}^{m}c_{i}{\vec {y}}^{i}(t_{0})={\vec {y}}_{0},}$ pretože ${\textstyle {\vec {y}}^{i}(t_{0})={\vec {v}}_{i}}$.

---

Príklad 2.3. Finsk the Uvod2 skr Uvod4 tretí rád $$y'''+6y''+11y'+6y=0,\ \quad y(0)=1,\ y''(0)=y'(0)=0.$$ Po skm preformulujte túto rovnicu do ${\textstyle 3\times 3}$ sústavy Dgl pre ${\textstyle {\vec {y}}(t)=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}=(y,y',y'')^{T}}$ dostaneme $$({\vec {y}}(t))'={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{pmatrix}}{\vec {y}}(t),\qquad {\vec {y}}(0)={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}.$$ Určíme vlastné hodnoty a vlastné vektory skr matice systému. Charakteristický polynóm tejto matice je $$rho(\lambda )=skt{\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\-6&-11&-6-\lambda \end{pmatrix}}=-(6+\lambda )\lambda ^{2}-11\lambda -6.$$ Nuly ${\textstyle \rho (\lambda )}$ sú ${\textstyle \lambda _{1}=-1,\ \lambda _{2}=-2,\ \lambda _{3}=-3.}$ Zodpovedajúcesk vlastné vektory pre tieto vlastné hodnoty sú (prepočítajte!) $${\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\\ -1\\1\end{pmatrix}},{\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}1\\-2\ 4\end{pmatrix}},{\vec {v}}_{3}={\begin{pmatrix}1\\-3\\9\end{pmatrix}}$$ (oskr nemeniacich sasknsk násobkov ${\textstyle {\vec {v}}_{i}\neq {\bf {0}}}$). Teraz môžeme vypočítať všeobecnú Uvod2 našej sústavy pomocou (2. 19) ako ľubovoľnú kombináciu skr stĺpcov skr základnej matice ${\textstyle Y(t)}$, $${\vec {y}}(t)=Y(t){\vec {c}}=c_{1}e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}e^{-2t}{\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}+c_{3}e^{-3t}{\begin{pmatrix}1\\-3\\9\end{pmatrix}}.$$ Téme Uvod2 našej pôvodnej diferenciálnej rovnice tretieho rádu zodpovedá skr prvá zložka ${\textstyle {\vec {y}}(t),}$ t.j. ${\textstyle y(t)=c_{1}e^{-t}+c_{2}^{-2t}+c_{3}e^{-3t}}$. Z počiatočných podmienok skn ${\textstyle y(0)=1,\ y''(0)=y'(0)=0}$ nakoniec vyplýva ${\textstyle c_{1}=3,\ c_{2}=-3,\,c_{3}=1}$.
Hľadané Uvod2 je ${\textstyle y(t)=3e^{-t}-3^{-2t}+e^{-3t}}$.

Teraz uvažujeme skn prípad, keď matica ${\textstyle A}$ v (2.18) má viac vlastných hodnôt. Nech ${\textstyle \lambda _{i}}$ je ${\textstyle k}$-násobok vlastných čísel ${\textstyle A}$, ${\textstyle k>1}$. Preto charakteristický polynóm ${\textstyle \rho (\lambda )}$ (stupňa ${\textstyle m}$) má najviac ${\textstyle m-k+1}$ rôznychskne núl ${\textstyle \lambda _{1}\neq \ldots \neq \lambda _{m-k+1}}$. Predpokladajme, že neexistujú žiadne ďalšie násobné nuly ${\textstyle \rho (\lambda )}$. Potom dostaneme ${\textstyle j=1,\ldots m-k+1}$ vyriešením ${\textstyle (A-\lambda _{j}){\vec {v}}=0}$ na ${\textstyle {\vec {v}}}$ celkom ${\textstyle m-k+1}$ nezávislých vlastných vektorov. . Základnú maticu (2.19) nemožno úplne zostrojiť. werskn.
Ako vytvoriť zvyšné ${\textstyle k-1}$ nezávislé stĺpce ${\textstyle Y(t)}$?
Aby sme mohli odpovedať na túto otázku, musíme sa bližšie pozrieť na násobnosť vlastného čísla. Rozlišuje sa medzi

• algebraická násobnosť (AVf) von ${\textstyle \lambda _{i}}$: toto je násobok skr nuly ${\textstyle \rho (\lambda )}$, v našom prípade je to ${\textstyle k}$.
• geometrická násobnosť (GVf) ${\textstyle \lambda _{i}}$: das ist die Dimension sks Uvod2sraumes von ${\textstyle (A-\lambda _{i}){\vec {v}}=0}$, (die Dimension von Kern(${\textstyle A-\lambda _{i}}$)).

Prípad 1: (GVf=AVf)
Situácia je jednoduchá, ak geometrická násobnosť ${\textstyle \lambda _{i}}$ zodpovedá algebraickej násobnosti skr (${\textstyle k}$). Všetky potrebné vlastné vektory pre ${\textstyle \lambda _{i}}$ potom získame riešením ${\textstyle (A-\lambda _{i}){\vec {v}}=0}$ pre ${\textstyle {\vec {v}}}$, sknn die Uvod2en ${\textstyle {\vec {v}}}$ spannen v ${\textstyle k}$-rozmernom vlastnom priestore k ${\textstyle \lambda _{i}}$.
Prípad 2: (GVf<AVf)
Ak je geometrická násobnosť ${\textstyle \lambda _{i}}$ menšia ako ${\textstyle k}$, musíme doplniť ďalšie vektory, tzv. zovšeobecnené vlastné vektory. Nech (GVf)${\textstyle =\ell <k}$. Potom najprv dostaneme ${\textstyle \lambda _{i}}$ ako v prípade 1 ${\textstyle \ell }$ vlastné vektory ${\textstyle {\vec {v}}_{i},{\vec {v}}_{i+1},\ldots ,{\vec {v}}_{i+\ell -1}}$ riešením ${\textstyle (A-\lambda _{i}){\vec {v}}=0}$. Ďalšie zovšeobecnené vlastné vektory (nazývané aj hlavné vektory skr 2., 3. atď. úrovne) získame vložením skr už známych vlastných vektorov (oskr hlavných vektorov) do pravej strany a riešením pre ${\textstyle {\vec {v}}}$: $${\begin{aligned}(A-\lambda _{i}){\vec {v}}_{i+\ell }&=&{\vec {v}}_{i+\ell -1}\\(A-\lambda _{i}){\vec {v}}_{i+\ell +1}&=&{\vec {v}}_{i+\ell }\\\ldots &&\\(A-\lambda _{i}){\vec {v}}_{i+k-1}&=&{\vec {v}}_{i+k-2}.\end{aligned}}$$ Dosadením prvej rovnice skr zhora do rovnice pre posledný vygenerovaný vlastný vektor skn ${\textstyle (A-\lambda _{i}){\vec {v}}_{i+\ell -1}=0}$, dostaneme prvý hlavný vektor ${\textstyle {\vec {v}}_{i+\ell }}$ pre skn, že ${\textstyle (A-\lambda _{i})^{2}{\vec {v}}_{i+\ell }=0.}$ sksa nazýva aj hlavný vektor skr úrovne 2, pretože ${\textstyle {\vec {v}}_{i+\ell }}$. (Vlastné vektory ${\textstyle {\vec {v}}_{i},\ldots ,{\vec {v}}_{i+\ell -1}}$ werden auch Hauptvektoren der úrovne 1). Postupným vkladaním sa získa úroveň 3 pre skn hlavný vektor ${\textstyle {\vec {v}}_{i+\ell +1}}$ a nakoniec sa získa úroveň ${\textstyle {\vec {v}}_{i+k-1}}$ pre skn hlavný vektor ${\textstyle k-\ell +1}$.

Vlastné vektory ${\textstyle {\vec {v}}_{i},{\vec {v}}_{i+1},\ldots ,{\vec {v}}_{i+\ell -1}}$ spolu s hlavnými vektormi ${\textstyle {\vec {v}}_{i+\ell },\ldots ,{\vec {v}}_{i+k-1}}$ pokrývajú ${\textstyle k}$-rozmerný vlastný priestor k ${\textstyle \lambda _{i}}$ a sú použité, na generovanie chýbajúcich ${\textstyle k}$ stĺpcov základnej matice, ktoré patria do ${\textstyle k}$-násobku vlastného čísla ${\textstyle \lambda _{i}}$.

---

definícia 2.5 (Fundamentálna matica pre viacnásobné vlastné hodnoty)

Nech ${\textstyle \lambda _{i}}$ je ${\textstyle k}$-násobok vlastných čísel matice ${\textstyle A}$. Časť fundamentálnej matice (2.18) spojená s vlastnou hodnotou ${\textstyle \lambda _{i}}$ má nasledujúci tvar ${\begin{pmatrix}\ldots {\Big |}e^{\lambda _{i}t}{\vec {v}}_{i}{\Big |}e^{\lambda _{i}t}({\vec {v}}_{i}t+{\vec {v}}_{i+1}){\Big |}\ldots {\Big |}e^{\lambda _{i}t}\left({\vec {v}}_{i}{\frac {t^{k-1}}{(k-1)!}}+{\vec {v}}_{i+1}{\frac {t^{k-2}}{(k-2)!}}+\ldots +{\vec {v}}_{i+k-2}t+{\vec {v}}_{i+k-1}\right){\Big |}\ldots \\\end{pmatrix}}$ (2.20)

kde ${\textstyle \lambda _{i},\,{\vec {v}}_{i},\ldots {\vec {v}}_{i+k-1}}$ sú vlastné vektory a hlavné vektory ${\textstyle \lambda _{i}}$, ktorých konštrukcia je opísaná vyššie v prípadoch 1 a 2.

---

Príklad 2.4 Daná je matica ${\textstyle A\in \mathbb {R} ^{6\times 6}}$ s charakteristickým polynómom ${\textstyle \rho (\lambda )=det(A-\lambda I)=(\lambda -2)^{3}(\lambda -3)^{3}}$. Nuly sú ${\textstyle \lambda _{1}=2}$ (trojica), ${\textstyle \lambda _{2}=3}$ (trojica). Nech geometrická násobnosť ${\textstyle \lambda _{2}}$ je ${\textstyle dimkernel(A-2I)=2<3}$ a násobnosť ${\textstyle \lambda _{3}}$ ${\textstyle dimkernel(A-3I)=1<3}$. Bestimme die Fundamentalmatrix vom System ${\textstyle ({\vec {y}}(t))'=A{\vec {y}}(t)}$.
Vlastný priestor pre ${\textstyle \lambda _{2}=2}$:
Riešením ${\textstyle (A-2I){\vec {v}}=0}$ získame vlastné vektory ${\textstyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}}$. Denné vlastné vektory (hlavný vektor 2. úrovne) získame riešením $$(A-2I){\vec {v}}_{3}={\vec {v}}_{2}\quad \Leftrightarrow \quad (A-2I)^{2}{\vec {v}}_{3}=0.$$ Vlastný priestor k ${\textstyle \lambda _{3}=3}$:
Riešením ${\textstyle (A-3I){\vec {v}}=0}$ získame vlastný vektor ${\textstyle {\vec {v}}_{4}}$. Chýbajúce zovšeobecnené vlastné vektory ${\textstyle {\vec {v}}_{5},{\vec {v}}_{6}}$ (hlavné vektory 2. a 3. úrovne) získame riešením $${\begin{aligned}(A-3I){\vec {v}}_{5}={\vec {v}}_{4}\quad \Leftrightarrow \quad (A-3I)^{2}{\vec {v}}_{5}=0,\\(A-3I){\vec {v}}_{6}={\vec {v}}_{5}\quad \Leftrightarrow \quad (A-3I)^{3}{\vec {v}}_{6}=0.\end{aligned}}$$ Základná matica je teraz daná ${\begin{pmatrix}e^{2t}{\vec {v}}_{1}&{\Big |}e^{2t}({\vec {v}}_{1}t+{\vec {v}}_{2})&{\Big |}e^{2t}({\vec {v}}_{1}{\frac {t^{2}}{2}}+{\vec {v}}_{2}t+{\vec {v}}_{3})&{\Big |}e^{3t}{\vec {v}}_{4}&{\Big |}e^{3t}({\vec {v}}_{5}t+{\vec {v}}_{6})&{\Big |}e^{3t}({\vec {v}}_{4}{\frac {t^{2}}{2}}+{\vec {v}}_{5}t+{\vec {v}}_{6})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{pmatrix}}.$

Poznámka 2.1 (Prípad: komplexné vlastné čísla) Podľa základnej vety algebry má charakteristický polynóm pre ${\textstyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ s násobnosťou ${\textstyle n}$ núl, t.j. ${\textstyle A}$ má ${\textstyle n}$ vlastných čísel.

Okrem reálnych núl alebo vlastných čísel, o ktorých sme hovorili vyššie, je možné, že ${\textstyle A}$ má komplexné vlastné čísla a komplexné vlastné vektory. To znamená, že ${\textstyle \lambda =\sigma +i\tau }$ a ${\textstyle {\vec {v}}={\vec {a}}+i{\vec {b}}}$ sa delia na reálnu a imaginárnu časť. V tomto prípade je ${\textstyle e^{\lambda t}{\vec {v}}}$ tiež riešením sústavy, ale je komplexne hodnotené. Ako získate reálne riešenia?

Komplexné nuly reálnych polynómov sa vždy vyskytujú v komplexne konjugovaných dvojiciach, preto ${\textstyle \lambda =\sigma +i\tau }$ je tiež ${\textstyle {\overline {\lambda }}=\sigma -i\tau }$ nula, a teda vlastné číslo. Súvisiace vlastné vektory sú potom tiež navzájom komplexne konjugované ${\textstyle {\overline {\vec {v}}}={\vec {a}}-i{\vec {b}}}$. Preto ${\textstyle e^{{\overline {\lambda }}t}{\overline {\vec {v}}}}$ je tiež riešením.

Ak teraz dodržíme Eulerovu identitu ${\textstyle e^{(\sigma +i\tau )t}=e^{\sigma t}[\cos(\tau t)+i\sin(\tau t)],}$ nové riešenie s reálnou hodnotou môžeme vypočítať z týchto dvoch riešení pomocou súčtu a rozdielu, reálnych riešení $$e^{\sigma t}{\big (}\cos(\tau t){\vec {a}}-\sin(\tau t){\vec {b}}{\big )}\quad {\text{ a }}\quad e^{\sigma t}{\big (}\sin(\tau t){\vec {a}}+\cos(\tau t){\vec {b}}{\big )}$$ pre diferenciálnu rovnicu. Haben die komplexen Nullstellen selbst eine höhere Vielfachheit, so geht man dann analog zum reellen Fall vor und muss entsprechend mit ${\textstyle t,\,{\frac {t^{2}}{2}},\ldots }$ multiplizieren. Hier gehen wir auf diesen Fall nicht weiter ein.