Obyčajné differenciálne rovnice/Podmienky pre rád Runge-Kutta metód

Poriadkové podmienky pre Runge-Kutta metódy

Doteraz sme vždy predpokladali, že $c_{1}=0$ pre explicitné Runge-Kutta metódy. Táto podmienka nie je zvolená ľubovoľne, ale vyplýva z určitej požiadavky na medzistupne $k_{j}$. Ako uvidíme v nasledujúcom odseku, takáto požiadavka zabezpečuje presnosť RKV pre lineárne funkcie $y(t)$. To znamená, že numerické riešenie RKV $y'=const$, ktoré sa nachádza v bodoch mriežky, nie je ovplyvnené žiadnymi diskretizujúcimi chybami. Je teda presne rovnaké ako analytické riešenie.

S ohľadom na poriadok konzistencie stanovíme ďalšie (nelineárne) sústavy rovníc pre Rungeho-Kuttove koeficienty (pozri (4.4)), tzv. poriadkové podmienky. Poriadkové podmienky sú tiež formulované v maticovom tvare pomocou matice $A$ a vektorov ${\vec {b}},{\vec {c}}$ všeobecne a bez rozlišovania explicitných a implicitných RCO.

Na tento účel analyzujeme jednoduchý AWA ${\begin{aligned}y'(t)=1\\y(t_{0})=y_{0}\end{aligned}}\qquad (4.5)$

s analytickým riešením ako lineárnou funkciou $y(t)=t+y_{0}-t_{0}$.

Na RKV kladieme tieto požiadavky:

(A) Ev RKV poskytuje presné výsledky pre lineárne riešenia $y(t)$.

Keďže v bode (4.5) pre $k_{i}=f(t+c_{j}h,y+\ldots )=1$ to znamená, že v prípade diferenciálnej rovnice ($m=1$) po vložení lineárnej funkcie $y(t)$: ${\begin{aligned}0&{\stackrel {!}{=}}|\varepsilon (t,h)|=|h\tau (t,h)|=|y(t+h)-y(t)-h\phi (t,y,h,f)|\\&={\Big |}t+h-y_{0}-t_{0}-(t-y_{0}-t_{0})-h\sum _{j=1}^{s}b_{j}k_{j}{\Big |}={\Big |}h-h\sum _{j=1}^{s}b_{j}1{\Big |}=h{\Big |}1-\sum _{j=1}^{s}b_{j}{\Big |}.\end{aligned}}$

Prvá podmienka na Runge-Kutta koeficienty teda vyplýva z podmienky '(A) pre lineárne riešenia: $\sum _{j=1}^{s}b_{j}=1.\qquad (4.6)$

Tu upozorňujeme, že táto podmienka bola odvodená z požiadavky konzistencie v prípade všeobecnej úlohy s počiatočnou hodnotou, ktorá bola demonštrovaná v príklade 4.2 pomocou Taylorovho rozšírenia. Preto je pre RKV podmienka konzistencie ekvivalentná exaktnosti pre lineárne funkcie.

(B) Požiadavky na medzistupne $k_{j}$ der RKV:

Ako sme spomenuli na začiatku tejto kapitoly, $k_{j}$ aproximujú derivácie hľadanej funkcie v bodoch vzorkovania, $k_{j}\approx y'(t_{i}+hc_{j})$ Teraz sa od lineárnych funkcií vyžaduje, aby nielen aproximovali derivácie $y$ na medzistupňoch $t+c_{j}h$, ale aby s nimi aj súhlasili, t. j. aby $k_{j}=f{\Big (}t+c_{j}h,y(t)+h\sum _{m=1}^{s}a_{jm}k_{m}{\Big )}{\stackrel {!}{=}}y'(t+c_{j}h)$

platí. Pretože $y'=f(t,y)$, dostaneme z tejto podmienky $f{\Big (}t+c_{j}h,y(t)+h\sum _{m=1}^{s}a_{jm}k_{m}{\Big )}{\stackrel {!}{=}}f(t+c_{j}h,y(t+c_{j}h)),$

a po porovnaní (druhých) argumentov funkcie $f$, lineárne riešenie $y(t)=t+y_{0}-t_{0}$ $y(t)+h\sum _{m=1}^{s}a_{jm}k_{m}{\stackrel {!}{=}}y(t+c_{j}h)=t+c_{j}h+y_{0}-t_{0}.$

Po dosadení lineárnej funkcie na ľavú stranu a použití $k_{m}=1$ (1.6) dostaneme druhú podmienku uloženú na Runge-Kutta koeficienty: $\sum _{m=1}^{s}a_{jm}k_{m}=c_{j}.\qquad (4.7)$

Táto podmienka zaručuje, že derivácie lineárnej funkcie sú vypočítané presne aj v medziľahlých bodoch.

Poznámka 4.3

V príklade 4.2 sme videli, že táto podmienka ($a_{21}=c_{2}$) je automaticky splnená pre dvojstupňovú explicitnú RKV, aby bolo možné dosiahnuť druhý stupeň konzistencie. Preto sa (4.7) považuje za rozumnú podmienku pre Runge-Kutta koeficienty a predpokladá sa v ďalšom texte. To znamená, že všetky nami analyzované RKV poskytujú presné výsledky pre lineárne funkcie. Podmienka (4.7) znamená, že súčet $j$-tého riadku matice $A$ Butcherovej tabuľky dáva $j$-tý zápis vektora ${\vec {c}}$. Pri explicitnom RKV z tejto podmienky vyplýva, že $c_{1}=0$, pretože prvý riadok matice $A$ je nulový riadok.

Podmienky (4.6), (4.7), ktoré vyplývajú z požiadaviek (A), (B), sú podmienkami pre konzistentnú RKV prvého rádu. Ak označíme ${\mathbf {1} }=(1,\ldots ,1)^{T}$, podmienky poradia pre RKV vyššieho rádu môžeme reprezentovať v nasledujúcom maticovo-vektorovom tvare: ${\vec {b}}^{\ T}{\mathbf {1} }=1,\qquad A{\mathbf {1} }={\vec {c}}.$

Aby sme to mohli urobiť, musíme úlohu počiatočnej hodnoty (1.6) previesť na jej autonómnu formu $m+1$ diferenciálnych rovníc,

${\begin{aligned}Y:={\begin{pmatrix}t\\y(t)\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1\\f(t,y(t))\end{pmatrix}}=:f(Y),\quad {\mbox{s počiatočnou podmienkou}}\quad Y_{0}:={\begin{pmatrix}t_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

a musí sa vykonať viacrozmerná analýza Taylorovým rozšírením. Tento postup je podrobnejšie vysvetlený v [1].

V nasledujúcom prehľade uvádzame podmienky poradia až do štvrtého rádu konzistencie. Podmienky pre konkrétny rád konzistencie vyplývajú z podmienok pre predchádzajúci rád pridaním (znak $\bigoplus$) ďalších podmienok.

1. poradie:	${\vec {b}}^{\ T}{\mathbf {1} }=1,\ A{\mathbf {1} }={\vec {c}}$
2. poradie:	$\bigoplus$ ${\vec {b}}^{\ T}A{\mathbf {1} }={\vec {b}}^{\ T}{\vec {c}}=\sum _{j=1}^{s}b_{j}c_{j}={\frac {1}{2}}$
3. poradie:	${\begin{matrix}\bigoplus {\vec {b}}^{\ T}A^{2}{\mathbf {1} }={\vec {b}}^{\ T}A{\vec {c}}=\sum _{j=1}^{s}b_{j}a_{jk}c_{k}={\frac {1}{6}}\\\mathrm {and} ~{\vec {b}}^{\ T}(A{\mathbf {1} })^{2}={\vec {b}}^{\ T}({\vec {c}}\,)^{2}=\sum _{j=1}^{s}b_{j}c_{j}^{2}={\frac {1}{3}}\\\end{matrix}}$
4. poradie:	${\begin{matrix}\bigoplus {\vec {b}}^{\ T}[(A{\mathbf {1} }\,)(A{^{2}\mathbf {1} }\,)]={\vec {b}}^{\ T}[({\vec {c}}\,)(A{\vec {c}}\,)]={\frac {1}{8}}\\\mathrm {and} ~{\vec {b}}^{\ T}(A{\mathbf {1} }\,)^{3}={\vec {b}}^{\ T}({\vec {c}}\,)^{3}={\frac {1}{4}}\\\mathrm {and} ~{\vec {b}}^{\ T}A(A{\mathbf {1} }\,)^{2}={\vec {b}}^{\ T}A({\vec {c}}\,)^{2}={\frac {1}{12}}\\\mathrm {and} ~{\vec {b}}^{\ T}A^{3}{\mathbf {1} }={\vec {b}}^{\ T}A^{2}{\vec {c}}={\frac {1}{24}}\\\end{matrix}}$

$\qquad (\star )$

Pre $r\in {\mathbb {N} }$ pre mocniny alebo súčiny vektorov tu bol použitý nasledujúci výraz:

$({\vec {v}})^{r}:={\begin{pmatrix}v_{1}^{r}\\\vdots \\v_{s}^{r}\end{pmatrix}}$ und $({\vec {v}})({\vec {u}}):={\begin{pmatrix}v_{1}u_{1}\\\vdots \\v_{s}u_{s}\end{pmatrix}}$

Podmienky usporiadania $(\star )$ platia pre všeobecnú RKV s $s$ úrovňami (implicitnými alebo explicitnými). V nasledujúcom texte sa obmedzíme na explicitné RKV. V odvodení koeficientov eRKV tretieho rádu je potrebných päť (nelineárnych) rovníc podľa vyššie uvedených rádových podmienok (porovnaj (4.4) odstránená). Pomocou explicitnej metódy štvrtého rádu sa získa osem rovníc. Ak je matica $A$ dolnou trojuholníkovou maticou a $s=4$ sa použije v podmienkach rádu, nasledujúca sústava rovníc pre koeficienty explicitnej RKV so 4 úrovňami ${\begin{aligned}b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}&=&1\quad \}\quad {\mbox{Konzistencia 1. rádu}},\\c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}+c_{4}b_{4}&=&{\frac {1}{2}}\quad \}\quad \quad {\mbox{ 2. rádu,}}\\&&\left.{\begin{matrix}c_{2}^{2}b_{2}+c_{3}^{2}b_{3}\&=&{1}/{3}\\b_{3}c_{2}a_{32}+b_{4}c_{2}a_{42}+b_{4}c_{3}a_{43}&=&{1}/{6}\end{matrix}}\quad \right\}\quad \quad {\mbox{ 3. rádu,}}\\&&\left.{\begin{matrix}c_{2}^{3}b_{2}+c_{3}^{3}b_{3}+c_{4}^{3}b_{4}\&=&{1}/{4}\\b_{3}c_{3}c_{2}a_{32}+b_{4}c_{4}c_{2}a_{42}+b_{4}c_{4}c_{3}a_{43}&=&{1}/{8}\\b_{3}c_{2}^{2}a_{32}+b_{4}c_{2}^{2}a_{42}+b_{4}c_{3}^{2}a_{43}\&=&{1}/{12}\\b_{4}c_{2}a_{32}a_{43}\ &=&{1}/{24}\end{matrix}}\quad \right\}\quad \quad {\mbox{ 4. rádu.}}\end{aligned}}$

Počet rovníc v $(\star )$ sa neúmerne a nelineárne zvyšuje s poradím konzistencie. Platí tiež, že nie je možné dosiahnuť ľubovoľný poriadok konzistencie s daným počtom krokov $s$, počet krokov tiež neúmerne rastie s poriadkom konzistencie. Tabuľka 1 poskytuje prehľad počtu poradí konzistencie a počtu krokov metódy eRK.

Podmienky poradia a počet krokov pre explicitné Runge-Kutta metódy

Rád $p$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
úrovne $s$	1	2	3	4	6	7	9	11	$\geq 13$	$\geq 15$
$\#$ Ord-Bed.	1	2	4	8	17	37	85	200	486	1205

Nasledujúca veta sa vzťahuje na počet úrovní a poradie konzistencie pre eRKV:

(mäsiarstvo Bariere)
Pre poradie konzistentnosti $p\geq 5$ neexistuje explicitná RKV s $s=p$ úrovňami.
Neexistuje explicitný RKV pre poradie konzistencie $p\geq 7$ s $s=p+1$ úrovní.
Pre poradie konzistencie $p\geq 8$ neexistuje explicitná RKV s $s=p+2$ úrovňami.

"Dôkaz. Bez dôkazu ◻

Pomer poradia konzistencie $p$, ktoré treba dosiahnuť, k počtu úrovní $s$ je pre implicitné RCC rôzny. Vo všeobecnosti iRKV vyžadujú pre vyššie rády menej stupňov. Avšak (implicitný) výpočet medzistupňov $k_{j}$ je podstatne komplikovanejší, pretože v každom stupni treba riešiť $t_{i}$, $s$ (prípadne nelineárne) rovnice (4.1). Koeficienty iRKV možno odvodiť pomocou poriadkových podmienok $(\star )$, ale existujú aj iné (prípadne jednoduchšie) prístupy na dosiahnutie čo najpresnejšej alebo najstabilnejšej iRKV s daným počtom krokov. Tie sú vysvetlené v nasledujúcich častiach.