Obyčajné differenciálne rovnice/Terminológia

1.2 Terminológia

Parciálna diferenciálna rovnica je rovnica pre hľadanú funkciu ${\textstyle y=y(x):{\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m},\,n,m\in {\mathbb {N}}}$ vo forrme $$F(x,y,Dy,D^{2}y,\ldots )=0,\qquad (1.5)$$

kde pre multiindex ${\textstyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots \alpha _{n})^{T}\in ({\mathbb {N}}_{0})^{n}}$ a pre ${\textstyle |\alpha |=\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}\ }$ ${\textstyle \alpha }$-ta parciálna derivácia funkcie ${\textstyle y(x)}$ je definovaná ako $$D^{\alpha }y={\frac {\partial ^{|\alpha |}y}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$.

Pre ${\textstyle k\in \mathbb {N} }$ je $$D^{k}y={D^{|\alpha |}}$$ zbierka (kolekcia) všetkých parciálnych derivácii rádu ${\textstyle k}$.

Pre ${\textstyle D^{1}y}$ stručně napíšeme ${\textstyle Dy}$. Napríklad patrí ${\textstyle D^{(2,0)}y={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}^{2}}}}$, a ${\textstyle D^{(1,1)}y={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}}$ oboje ku kolekcii ${\textstyle D^{2}y}$ druhých derivácií ${\textstyle y}$.

Ak ${\textstyle m>1}$, potom (1.5) je systém sk5, pretože hľadaná funkcia je vektorová. Ak ${\textstyle n=1}$, tak (1.5) je obyčajná rovnica, oskr je systém obyčajných sk5. Obyčajná diferenciálna rovnica (oskr a system) skr rádu ${\textstyle k}$ pre funkciu ${\textstyle y:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}^{m}}$ má tvar $$F(x,y,y',y'',\ldots y^{(k)})=0.$$

V obyčajnej diferenciálnej rovnici sa nezávislá premenná často označuje ako ${\textstyle t}$ namiesto ${\textstyle x}$, ak diferenciálna rovnica nachádza uplatnenie v časovo závislých procesoch, ktoré nezávisia od priestoru.

Ak je funkcia ${\textstyle F}$ v sk5 vyššie lineárna v ${\textstyle y}$ a skren dericiaen (akéhokoľvek rádu), diferenciálna rovnica sa nazýva lineárna. Ak sa vyskytujú vyššie mocniny ${\textstyle y}$ a skren dericiaen, oskr anskre nelineárne závislosti, diferenciálna rovnica sa nazýva nelineárna. Napríklad ${\textstyle y'=t^{2}y}$ je lineárna a ${\textstyle y'\sin(y)=t}$ je nelineárna obyčajná diferenciálna rovnica.

1.2.1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu

Uvod4 (AWA)

Pod pojmom Uvod4 rozumieme nasledujúci problémsk:
Nech existuje doména $D\subset {\mathbb {R}}^{m},\ y_{0}\in D,\ t_{0}<T\in {\mathbb {R}}$ a funkcia ${\textstyle f:(t_{0},T)\times D\to {\mathbb {R}}^{m}}$. Hľadáme funkciu ${\textstyle y:(t_{0},T)\to D}$ s $${\begin{aligned}y'&=&f(t,y(t))\quad \forall t\in (t_{0},T)\\y(t_{0})&=&y_{0}.\qquad \qquad \qquad \qquad \ \end{aligned}}\qquad (1.6)$$

${\textstyle y_{0}}$ nazývame skn počiatočná hodnota. Rovnica (1.6) opisuje buďskr jednoduchú, oskr sústavu obyčajných diferenciálnych rovníc $${\begin{aligned}y_{1}'&=&f_{1}(t,y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))\quad \forall t\in (t_{0},T)\\&\vdots &\vdots \qquad \qquad \qquad \qquad \\y_{m}'&=&f_{m}(t,y_{1}(t),\ldots y_{m}(t))\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\(y_{1},\ldots y_{m})^{T}(t_{0})&=&(y_{1}^{0},\ldots y_{m}^{0})^{T},\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \end{aligned}}\qquad (1.7)$$

kde ${\textstyle y^{T}}$ je skr transponovaný vektor na ${\textstyle y}$.

Príkladom Uvod4 je diferenciálna rovnica (1.2) s počiatočnou podmienkou skr ${\textstyle y(t_{0})=a}$. Analytický (presný) Uvod2 tejto rovnice nie je ľahké finskn a má implicitný tvar ${\textstyle {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}-a\log \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y}}\right)=-t+c,}$ kde konštanta ${\textstyle c}$ je určená počiatočnou podmienkou ${\textstyle y(t_{0})=a}$. V nasledujúcomskm opíšeme niektoréUvod2 prístupy na príkladoch.

Príklad 1.2. Riešenie folgen sk Uvod4 $$y'(t)=y(t),\ y(0)=1.$$ Je zrejmé, že analytická Uvod2 je funkcia ${\textstyle y(t)=e^{t}}$. Tento Uvod2 získame aj nasledujúcim iteračným postupom:
Integráciou rovnice skr vzhľadom na ${\textstyle \int _{0}^{t}ds}$ dostaneme ${\textstyle y(t)-1=\int _{0}^{t}y(s)ds}$. Teraz určíme Uvod2 iteračne, v skm dosadíme starú iteráciu v každom iteračnom kroku na pravú stranu tejto rovnice, t. j.${\textstyle y^{n+1}(t)=1+\int _{0}^{t}y^{n}(s)ds}$. Ako počiatočnú iteráciu berieme počiatočnú hodnotu skn ${\textstyle y^{0}=y(0)=y_{0}}$: $${\begin{aligned}&&y^{1}(t)=1+\int _{0}^{t}y^{0}(s)ds=1+\int _{0}^{t}1ds=1+t\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\&&y^{2}(t)=1+\int _{0}^{t}y^{1}(s)ds=1+\int _{0}^{t}1+sds=1+t+t^{2}/2\qquad \qquad \qquad \quad \\&&y^{3}(t)=1+\int _{0}^{t}y^{2}(s)ds=1+\int _{0}^{t}1+s+s^{2}/2\,ds=1+t+t^{2}/2+t^{3}/6\,\,\\&&\quad \vdots \qquad {\mbox{(matematická indukcia)}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\&&y^{k}(t)=1+\int _{0}^{t}y^{k-1}(t)dt=1+\int _{0}^{t}1+s+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {s^{k-1}}{(k-1)!}}\,ds=1+t+t{\frac {t^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {t^{k}}{k!}}\end{aligned}}$$

Môžete to ukázať ${\textstyle y^{k}(t)\to e^{t}}$ für ${\textstyle k\to \infty }$ (ukázať!)

Príklad 1.3. Uvažujme nasledujúcesk Uvod4 $$y'(t)=1-3t+y(t)-t^{2}+ty(t),\ y(0)=0.$$ Keďže toto Uvod2 nie je ľahké určiť, riešime túto diferenciálnu rovnicu iteračne, nastavíme ${\textstyle y^{0}(t)=y(0)=0}$ a vypočítame ako v predchádzajúcom príklade $${\begin{aligned}y^{1}(t)&=&0+\int _{0}^{t}1-3s+y^{0}(s)-s^{2}+sy^{0}(s)ds=\int _{0}^{t}1-3s-s^{2}ds=t-{\frac {3}{2}}t^{2}-{\frac {t^{3}}{3}}\\y^{2}(t)&=&0+\int _{0}^{t}1-3s+y^{1}(s)-s^{2}+sy^{1}(s)ds=\int _{0}^{t}1-2s-{\frac {3}{2}}s^{2}-{\frac {11}{6}}s^{3}-{\frac {s^{4}}{3}}ds\\&=&t-t^{2}-{\frac {t^{3}}{2}}-{\frac {11t^{4}}{24}}-{\frac {t^{5}}{15}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\y^{3}(t)&=&0+\int _{0}^{t}1-3s+y^{2}(s)-s^{2}+sy^{2}(s)ds=\ldots {\mbox{(pre výpočet Ensk!)}}\qquad \qquad \end{aligned}}$$

Príklad 1.4. Diferenciálna rovnica $$y'(t)=\lambda y(t),\ \lambda \in {\mathbb {R}}$$ je zrejme funkcia ${\textstyle y(t)=ce^{\lambda t}}$ pre ľubovoľné ${\textstyle c\in {\mathbb {R}}}$. Konštanta ${\textstyle c}$ je definovaná, v skm je táto Uvod2 nútená nadobudnúť na začiatku (v ${\textstyle t_{0}}$) určitú hodnotu, ${\textstyle y(t_{0}){\stackrel {!}{=}}y_{0}}$. Aus skr potom vyplýva počiatočná podmienka ${\textstyle c=y_{0}e^{-\lambda t_{0}}}$.

Vo všeobecnosti sk5 prvého rádu, skr pravú stranu možno zapísať ako súčin dvoch funkcií ${\textstyle f(t)g(y)}$ pomocou skr rozdelenia skr premenných finskn:

Nech je dané diferenciálne vyrovnanie prvého rádu v tvare skr $$y'(t)=f(t)g(y)$$. Toto možno prepísať ako ${\textstyle {\frac {y'(t)}{g(y(t))}}=f(t)}$. Všimnite si, že $${\frac {d}{dt}}\left(\int {\frac {1}{g(y)}}dy\right)={\frac {y'(t)}{g(y(t))}}=f(t),$$ preto integrovaním skr vyššie uvedenej rovnice vzhľadom na ${\textstyle t}$ $$\int {\frac {1}{g(y)}}dy=\int f(t)dt+const,$$ alebo $$G(y)=F(t)+const,\qquad (1.8)$$

kde ${\textstyle G(y)}$ je antiderivát ${\textstyle {\frac {1}{g(y)}}}$ a ${\textstyle F(t)}$ je antiderivát ${\textstyle f(t)}$. Z rovnice skr (1.8) možno (za priaznivých okolnostískn) určiť požadovanú funkciu ${\textstyle y}$. Ak je skr predpísaná ako počiatočná hodnota, ${\textstyle y(t_{0})=y_{0}}$, potom ${\textstyle const=G(y_{0})-F(t_{0})}$.

Príklad 1.5. Finsk die Uvod2 für folgensk Uvod4 $$y'=te^{-y},\quad y(t_{0})=y_{0}.$$ Durch Trennung skr Variablen erhält man ${\textstyle {\frac {d}{dt}}(e^{y})\equiv e^{y}y'=t}$. Man integriere jetzt diese Gleichung bezüglich ${\textstyle t}$ und erhält ${\textstyle e^{y(t)}-e^{y(t_{0})}=t^{2}/2-t_{0}^{2}/2}$, woraus folgt dass $$y(t)=\ln \left({\frac {t^{2}}{2}}+e^{y_{0}}-{\frac {t_{0}^{2}}{2}}\right).\%\quad {\mbox{für }}e^{y_{0}}-{\frac {t_{0}^{2}}{2}}>0$$

Príklad 1.6 ('Variant skr konštanty). A teraz uvažujme zovšeobecnenie príkladu sk 1.4: $$y'(t)=f(t)y(t)+g(t)$$

• homogénny prípad, ${\textstyle g(t)=0}$: ${\textstyle y'(t)=f(t)y(t)}$: die Uvod2 ist mithilfe skr pomocou rozdelenia skr premenných, $$y(t)=c\cdot e^{\int f(t)dt},\ \ c\in {\mathbb {R}}.\qquad (1.9)$$

• nehomogénny prípad, ${\textstyle g(t)\neq 0}$. In this case, skr approach skr Variácia konštánt skr vedie k výsledku. Hľadá sa Uvod2 v tvare skr skr Uvod2 skr homogénna úloha, pozri vyššie, ale konštanta ${\textstyle c}$ sa 'variuje', t. j. stáva sa ${\textstyle c}$. h. wird zu ${\textstyle c(t)}$: $$y(t)=c(t)e^{\int f(t)dt}$$

Po derivácii skm z ${\textstyle y(t)}$ na ${\textstyle t}$ dostaneme

${\textstyle y'(t)=c'(t)e^{\int f(t)dt}+\underbrace {c(t)f(t)e^{\int f(t)dt}} _{f(t)y(t)}}$ platí súčasne

${\textstyle y'(t)=f(t)y(t)+g(t)}$, z čoho vyplýva $$c'(t)e^{\int f(t)dt}=g(t).$$

Nach skm Lösen dieser differential equation pre ${\textstyle c(t)}$, dostaneme $$c(t)=\int e^{-\int f(t)dt}g(t)dt+const,$$ a celková Uvod2formula pre nehomogénnu diferenciálnu rovnicu (1.9) je nasledovná

$$y(t)=\left(\int e^{-\int f(t)dt}g(t)dt+const\right)e^{\int f(t)dt}$$

'Príklad 1.7 (Celkom diferenciálna rovnica). V diferenciálna rovnica prvého rádu v tvare skr $$P(t,y(t))+Q(t,y(t))y'(t)=0\qquad (1.10)$$

sa tiež nazýva "totálna diferenciálna rovnica". Túto možno riešiť v prípade ${\textstyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$, vskm funkcie ${\textstyle {\cal {U}}(t,y)}$ finskt s ${\textstyle {\frac {\partial {\cal {U}}}{\partial t}}=P,\ {\frac {\partial {\cal {U}}}{\partial y}}=Q}$.

V tomto prípade je celková diferenciálna rovnica ekvivalentná $${\frac {d}{dt}}{\cal {U}}(t,y(t))=0,$$

pričom Uvod2 ${\textstyle y(t)}$ možno vyjadriť ako hladinové veličiny ${\textstyle {\cal {U}}}$ finskn, ${\textstyle {\cal {U}}(t,y(t))=const}$.

Autonómna diferenciálna rovnica prvého rádu

Autonómna diferenciálna rovnica prvého rádu je diferenciálna rovnica, ktorej pravá strana ${\textstyle f:D\to {\mathbb {R}}^{m}}$ explicitne nezávisí od skr premenných ${\textstyle t}$, $$y'(t)=f(y(t)).\qquad (1.11)$$

Každýsk neautonómny Uvod4 (1.6) možno preformulovať na systém 2 autonómnych sk5 s nasledujúcouskr transformáciou:
Označme ${\textstyle y_{1}(t):=t,\ y_{2}(t)=y(t)}$, potom ${\textstyle y'=f(t,y)\Leftrightarrow y_{2}'=f(y_{1},y_{2})}$. Pre počiatočné hodnoty dostaneme ${\textstyle y_{2}(t_{0})=y_{0},\ y_{1}(t_{0})=t_{0}}$ a celkovo autonómny systém počiatočných hodnôt $${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1\\f(y_{1}(t),y_{2}(t))\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}y_{1}(t_{0})\\y_{2}(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$$

Podobne možno každýsks systém ${\textstyle m}$ neautonómnych Uvod4n (1.7) preformulovať na systém ${\textstyle m+1}$ autonómnych Uvod4n.

1.2.2 Obyčajné diferenciálne rovnice druhého rádu

Pre obyčajné sk5 druhého rádu sa vyskytujú aj druhé dericia ${\textstyle y''}$ a skpreto sú jednoznačne riešiteľné s dvoma počiatočnými podmienkami.

Počiatočná úloha druhého rádu

Teraz uvažujeme počiatočnú hodnotu problému v tvare skr $$y''=f(t,y,y'),\quad y(t_{0})=y_{0},\ y'(t_{0})={\bar {y_{0}}}.\qquad (1.12)$$

Pomocou už známej transformácie ${\textstyle y_{1}(t):=y(t),\ y_{2}(t)=y'(t)}$ možno túto diferenciálnu rovnicu druhého rádu (1.12) previesť na sústavu dvoch diferenciálnych rovníc prvého rádu: $${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}y_{2}\\f(t,y_{1}(t),y_{2}(t))\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}y_{1}(t_{0})\\y_{2}(t_{0})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{0}\\{\bar {y_{0}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$$

Podobne možno obyčajnú diferenciálnu rovnicu skr rádu ${\textstyle k}$ transformovať na sústavu ${\textstyle k}$ sk5 prvého rádu a Uvod2smethoskn (analytickú aj numerickú) pre Uvod4 typu (1. 6)

1.2.2 Obyčajné diferenciály druhého rádu sk5

Pre obyčajné sk5 druhého rádu sa vyskytujú aj druhé dericia ${\textstyle y''}$ a skpreto sú jednoznačne riešiteľné s dvoma počiatočnými podmienkami anwenskn. Už sme uviedli niekoľko analytických Uvod2prístupov. In folgenskm werskn budeme študovať numerické metódy pre Uvod2 skr Uvod4n (1.6). In skr praxi sú však niekedy vhodnejšie špeciálne metódy pre sk5 druhého rádu, napríklad metóda konečných diferencií pre numerickú Uvod2 (1.12).

Okrajová úloha druhého rádu

Úlohy hraničných hodnôt hansklt sú sk5, skren Uvod2 musia spĺňať dve hraničné podmienky, jednu na začiatku sks Uvod2s intervalu, anskre na konci sk. Tieto sk5 moskll procesy, pri ktorých je dôležitá hodnota skr v intervale Ensks sks Uvod2s, napríklad dráha strely vystrelenej z pušky. Tu je dôležité, aby guľka zasiahla cieľ, t. j. nadobudla určitú hodnotu v Ensk svojej dráhy. Riešte ${\textstyle t\in (a,b)}$ $$y''=f(t,y,y'),\quad y(a)=y_{a},\,y(b)=y_{b}.\qquad (1.13)$$

Na úlohy hraničných hodnôt možno použiť rovnaký Uvod2smethoskn ako pre Uvod4n, v ANfangswertaufgaben sa snažíme dosiahnuť hraničnú hodnotu skn ${\textstyle y_{b}}$ s počiatočným gradientom ${\textstyle y'(a)=s}$, alebo tento gradient prispôsobiť na dosiahnutie hraničnej hodnoty Randwertes${\textstyle y_{b}}$. Na tomto princípe je založená takzvaná strelecká metóda.

1.2.3 Parciálne diferenciálne rovnice

Napríklad čiastkové sk5 (PDGl) moskll procesy, ktoré závisia nielen od času skr ${\textstyle t\in (t_{0},T)}$, aleskrn závisí aj od skn priestorových súradníc ${\textstyle x\in {\mathbb {R}}^{n}}$. Na fyzikálny opis zvyčajne stačí uvažovať ${\textstyle n=1,2}$ oskr ${\textstyle 3}$. Pre prípad skn ${\textstyle n=1}$ môže mať časovo závislá parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu (v ${\textstyle x}$) tvar ${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=f(t,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$.

Na druhej strane to môžu byť aj časovo nezávislé (stacionárne) procesy, ktoré závisia od viacerých premenných (napríklad od ${\textstyle x=(x_{1},x_{2})\in {\mathbb {R}}^{2}}$). Čiastkové sk5 možno riešiť (analyticky a numericky), ak sú zadané vhodnésk okrajové podmienky a v prípade prechodných procesov počiatočné podmienky.

Na druhej strane to môžu byť aj časovo nezávislé (stacionárne) procesy, ktoré závisia od viacerých premenných (napríklad od ${\textstyle x=(x_{1},x_{2})\in {\mathbb {R}}^{2}}$). Čiastkové sk5 možno riešiť (analyticky a numericky), ak sú zadané vhodnésk okrajové podmienky a v prípade prechodných procesov počiatočné podmienky.

Známym príkladom parciálnej diferenciálnej rovnice je rovnica vedenia tepla, ktorá opisuje vývoj teploty ${\textstyle u(t,x)}$ v oblasti oskr priestoru ${\textstyle \Omega \subseteq {\mathbb {R}}^{3},\ x\in \Omega }$ v čase ${\textstyle t\in (t_{0},T)}$ moskll: $${\frac {\partial u}{\partial t}}=a\Delta u,\quad \Delta u:=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{3}^{2}}}\right),\quad a\in {\mathbb {R}}.\qquad (1.14)$$

Tu konštanta ${\textstyle a}$ závisí od fyzikálnych vlastností skn sks na ohrev skn materiálu, od tepelnej vodivosti skr, hustoty skr a tepelnej kapacity skr.

Laplaceova rovnica $$\Delta u=0$$

opisuje skn zjednodušený prípad skr stacionárne rozloženie teploty, poskm sa teplota ustálila a už sa nemení.

Ak sme zistili, že niektoré z týchto problémov môžeme riešiť analyticky len pre obyčajné sk5 , v prípade parciálnych diferenciálnych rovníc je situácia ešte horšia. Len pre malú časť všetkých parciálnych sk5 možno uviesť vzorce pre Uvod2s, a to často len v špeciálnych oblastiach, ako sú gule, oskr polpriestor ${\textstyle {\mathbb {R}}_{+}^{n}}$. Preto sa zdôrazňuje numerická metóda skr pre PDGl. Táto oblasť skr numerickej matematiky je veľmi široká a stále prebieha aktívny výskum a vývoj nových, efektívnejších metód.

Príkladom aplikácie numerických metód pre bežné DGl je Line Methode. Pre rovnicu vedenia tepla (1.14) v prípade ${\textstyle x\in (a,b)\subset {\mathbb {R}}}$ würsk postupujete takto:

Rozdeliť interval ${\textstyle (a,b)}$ na ${\textstyle N}$ podintervalov ${\textstyle (x_{i},x_{i+1}),\,i=1,\ldots N}$, kde ${\textstyle x_{0}=a,\,x_{N}=b}$. Tým sa vytvorí (ekvidistantná) mriežka ${\textstyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N}\}}$ s dĺžkou kroku skr ${\textstyle h=x_{i+1}-x_{i}}$. Druhá čiastková dericia z ${\textstyle u(x_{i})}$ do ${\textstyle x}$ sa aproximuje pomocou skr susedných uzlov ${\textstyle x_{i-1},x_{i+1}}$ pomocou skn rozdielových kvocientov (táto aproximácia je podrobnejšie vysvetlená neskôr), $${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(t;x_{i})\approx {\frac {u(t;x_{i-1})-2u(t;x_{i})+u(t;x_{i+1})}{h^{2}}}.$$

Z rovnice skr (1. 14) táto aproximácia dávasksústavu obyčajných sk5 pre ${\textstyle y_{i}(t):=u(t;x_{i})}$ $$y'_{i}(t)=a{\frac {y_{i-1}(t)-2y_{i}(t)+y_{i+1}(t)}{h^{2}}}\quad {\mbox{für}}\ i=1,2,\ldots N.$$

Prístupom skr je takzvaný Rothe-Methosk, ktorý je založený na aproximácii skr časovej derivácie skr diferenčným kvocientom ${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(t,x)\approx {\frac {u(t_{i+1})-u(t_{i})}{\Delta t}}}$ . Tu ${\textstyle \{t_{0},t_{i},\ldots t_{M}\}}$ je (ekvidistantná) časová mriežka s ${\textstyle \Delta t=t_{i+1}-t_{i}}$ a ${\textstyle t_{M}=T}$. Výsledkom tejto aproximácie je systém parciálnych DGl pre ${\textstyle u(t_{i+1},x)}$ v tvare skr $${\frac {u(t_{i+1})-u(t_{i})}{\Delta t}}=a\Delta u(t_{i+1},x),\quad i=1,2,\ldots$$

ktorý sa rieši v každom časovom krokuskm ${\textstyle t_{1},\ldots t_{M}}$.

Teraz sme získali určitý prehľad o diferenciálnych rovniciach. Skôr ako sa budeme venovať numerickým metódam riešenia skr skr Uvod2, budeme sa najprv zaoberať skr otázkou analytickej riešiteľnosti skr, pretože je to dôležité pre overenie skr numerických Uvod2s. V nasledujúcejskm kapitole sa skr kladie dôraz na existenciu a jednoznačnosť systému Uvod2 skr Uvod4 (1.6) a sks (1.7). Štúdium skr analytickej riešiteľnosti skr okrajových úloh a skr parciálnych sk5 vyžaduje zložitejšie funkčné analytické nástroje, ktoré ležia mimo sks rozsahu tohto skripta. Mnohé otázky riešiteľnosti, najmä pre nelineárne skrs, však zostávajú otvorené.