Obyčajné differenciálne rovnice/Závislosť riešenia od začiatočných hodnôt

závislosť skr Uvod2 od počiatočných hodnôt

Teraz uvažujeme dve Uvod4n, ktoré sa líšia len počiatočnými hodnotami skn, $${\begin{aligned}y'=f(t,y),&\quad &y'=f(t,y),\\y(t_{0})=y_{0},&\quad &y(t_{0})=z_{0}.\end{aligned}}$$

Nech funkcia ${\textstyle f}$ je Lipschitzovo spojitá na skr pravej strane. Príslušnésk Uvod2s týchto dvoch úloh ako funkcie skn počiatočných hodnôt označíme ako ${\textstyle y(t;y_{0}),\ z(t;z_{0})}$. Teraz odhadneme ${\textstyle \mathbb {R} ^{m}}$ normu , ${\textstyle m\geq 1}$, sks rozdielsks týchto dvoch Uvod2s pomocou rovnice skr (2. 1), skr trojuholníkovej nerovnosti skr normy, skr Lipschitzovej spojitosti ${\textstyle f}$ a skr lemy 2.1, $${\begin{aligned}\|y(t;y_{0})-z(t;z_{0})\|_{\mathbb {R} ^{m}}&=&\left\|y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))ds-z_{0}-\int _{t_{0}}^{t}f(s,z(s))ds\right\|_{\mathbb {R} ^{m}}\qquad \\&\leq &\|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}+\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))ds-\int _{t_{0}}^{t}f(s,z(s))ds\right\|_{\mathbb {R} ^{m}}\\&\leq &\|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}+L\int _{t_{0}}^{t}\|y(s)-z(s)\|_{\mathbb {R} ^{m}}ds.\qquad \qquad \qquad \end{aligned}}$$

Ni použijeme nasledujúcu lema

---

''Lema 2.2 (Gronwall)

' Sei ${\textstyle \phi :I\to \mathbb {R} }$ je stabilné a es gélte pre jesks ${\textstyle \alpha ,\beta \geq 0}$, dass $$0\leq \phi (t)\leq \alpha +\beta \int _{t_{0}}^{t}\phi (s)ds\quad \forall t\geq 0.$$ Dán je $$\phi (t)\leq \alpha e^{\beta (t-t_{0})}\quad \forall t\in I.$$

---

Dôkaz.

Dôkaz skn pozri L. Grüne, O. Junge, Gewöhnliche sk5. Zovšeobecnenie možno nájsť napríklad v L. C. Evans, Partial Differential Equations, Appendix B.j, B.k. ◻

Teraz označíme ${\textstyle \phi (s):=\|y(s)-z(s)\|_{\mathbb {R} ^{m}}}$, ${\textstyle \alpha :=\|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}}$ a ${\textstyle \beta :=L}$ vo vyššie uvedenom odhade. Aplikáciou Gronwallovej lemy sk nakoniec získame odhad $$\|y(t;y_{0})-z(t;z_{0})\|_{\mathbb {R} ^{m}}\leq \|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}e^{L(t-t_{0})}\leq \|y_{0}-z_{0}\|_{\mathbb {R} ^{m}}e^{L(T-t_{0})}.$$

Tento odhad sa nazýva aj spojitá závislosť skr Uvod2 od počiatočných údajov skn a jednota nasleduje pre ${\textstyle y_{0}=z_{0}.}$