Vectors i punts IV

La noció de punt i vector ha anat madurant al llarg del temps. Els matemàtics tenen definicions rigoroses amb una profunditat que supera l'establert per aquest curs.

Els punts i vectors es poden situar particularment dins d'espais de dimensió $n$ del tipus $\mathbb {R} ^{n}.$ En aquesta secció només veurem els vectors per a dos dimensions, és a dir, $n=2:$

• El pla cartesià és el conjunt de punts coordenats simbolitzat com un conjunt del tipus $\mathbb {R} ^{2}$.

• Els elements del pla cartesià són dos nombres reals ordenats, és a dir $\{\,(\,x,\,y\,)\,|\;x\in \mathbb {R} \,\,i\,\,y\in \mathbb {R} \;\}$.

En cursos superiors es veurà que aquesta idea es pot estendre a punts i vectors dins l'espai de 3 o més dimensions, i també es pot estendre a altres objectes més inesperats.

Didàcticament, en aquest tema es començarà la casa per la teulada teòrica, és a dir, s'introduirà com són els punts i vectors, i es deixa de banda el significat d'espai afí(espai de punts) i el d'espai vectorials(espai de vectors) que es deixa per cursos més enllà del batxillerat.

Introducció

Introducció a grans trets del que es pot fer amb els elements que apareixen dins d'aquest tema.

Els vector es nomenen amb lletres minúscula amb una fletxa a sobre seu, s'anoten com elements ${\vec {a}}=(\,x,\,y\,)$ del pla $\mathbb {R} ^{2},$ és a dir, que és un parell ordenat de nombres, que:

• Sempre es poden sumar entre ells i donar així un altre vector: ${\vec {w}}={\vec {u}}+{\vec {v}}.$

${\begin{array}{rc}&(u_{1},u_{2})\\+&(v_{1},v_{2})\\\hline &(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})\end{array}}$

Exemple

${\begin{array}{rc}&{\vec {u}}=&(\,2,\,-1\,)\\+&{\vec {v}}=&(\,-4,\,8\,)\\\hline &{\vec {w}}=&(2-4,-1+8)&=(-2,7)\end{array}}$

• Sempre es poden multiplicar per un nombre real, $\lambda ,$ i donar així un altre vector: ${\vec {w}}=\lambda \cdot {\vec {u}}.$

${\begin{array}{rr}&(u_{1},u_{2})\\\times &\lambda \\\hline &(\lambda \cdot u_{1},\lambda \cdot u_{2})\end{array}}$

Exemple

${\begin{array}{rr}&{\vec {u}}=&(-7,2)\\\times &\lambda =&4'1\\\hline &{\vec {w}}=&(4'1\times (-7),4'1\times 2)&=(-28'7,8'2)\end{array}}$

Els punts es nomenen amb lletres majúscules o minúscules segons l'ús, s'anoten com elements $A=(\,x,\,y\,)$ del pla $\mathbb {R} ^{2},$ que:

• Designen llocs estàtics al pla.

Conceptes i normes per barrejar vectors i punts:

• Translació o vector lliure: Un vector, com a translació, permet anar d'un punt a un altre punt; l'operació que permet això és la suma: un punt origen més un vector translació és un punt destí.

$A+{\vec {v}}=B$

${\begin{array}{rc}&(A_{1},A_{2})\\+&(v_{1},v_{2})\\\hline &(A_{1}+v_{1},A_{2}+v_{2})\end{array}}$

Exemple

${\begin{array}{rc}&A=&(5,3)\\+&{\vec {v}}=&(-2,1)\\\hline &B=&(5-2,3+1)&=(3,4)\end{array}}$

• Vector fix: L'element que uneix dos punts és un vector, l'operació que permet obtenir aquest vector està definit per l'operació resta de coordenades entre dos punts: un punt destí menys un punt origen és un únic vector. Un conjunt de vectors és considera fix, si uneixen un mateix punt origen amb la resta de punts de destí.

${\vec {\,AB\,}}=B-A$

${\begin{array}{rc}&(B_{1},B_{2})\\-&(A_{1},A_{2})\\\hline &(B_{1}-A_{1},B_{2}-A_{2})\end{array}}$

Exemple

${\begin{array}{rc}&B=&(1,2)\\-&A=&(-3,1)\\\hline &{\vec {BA}}=&(1-(-3),2-1)&=(4,1)\end{array}}$

Cal remarcar que aquesta distinció és artificiosa per ajudar a lligar conceptes en dues situacions particulars.

Exemples

1) Estem al lloc $A=(3,\,2)$ i ens traslladem a un lloc $B$ amb el vector ${\vec {v}}=(-1,\,1).$ En quin lloc estic?

L'únic que s'ha de fer és escriure la situació i la solució surt directament: $A+{\vec {v}}={\text{¿}}B?$ $\Rightarrow (3,\,2)+(-1,\,1)=(3-1,\,2+1)=(2,\,3)$ $\Rightarrow B=(2,\,3).$

2) Quin vector surt del punt $a=(2,\,-3)$ i arriba al punt $b=(-1,\,-4)$? És important dibuixar els punts amb el vector.

Sabem que $a+{\text{¿}}{\vec {v}}?=b,$ llavors només cal aïllar el vector i queda com ${\text{¿}}{\vec {v}}?=b-a$ per tant només cal fer aquesta operació: ${\vec {v}}={\vec {ab}}=b-a=(-1,\,-4)-(2,\,-3)=\left(-1-2,\,-4-(-3)\right)=(-3,\,-1)$ També es pot fer la operació com: ${\begin{array}{rcr}&(-1,-4)\\-&(2,-3)\\\hline &(-1-2,-4-(-3))&=(-3,\,-1)\end{array}}$ Es pot dibuixar com una fletxa recta que surt des de a amb la punta o cap sobre b.

3) Estic al punt $a=(4,\,0),$ em trasllado amb el vector ${\vec {v}}$ després amb el vector ${\vec {u}}=(-1,1)$ i finalment estic al punt $b=(-1,\,2).$ Quin és el vector ${\vec {v}}$? És important dibuixar els punts amb el vector.

Es planteja l'equació $a+{\text{¿}}{\vec {v}}?+{\vec {u}}=b$ i aïllant es té: ${\vec {v}}=b-{\vec {u}}-a=(-1,\,2)-(4,\,0)-(-1,1)=(-1-4+1,\,2-0-1)=(-4,\,1)$

4) Construcció d'una casa en format *.svg unint tots els punts finals partint sempre d'un mateix punt $a=(1,\,2)$ cada cop i sumant els vectors següents per cada element de la casa.

a) Casa: ${\vec {v_{1}}}=(-3,\,-3)$, ${\vec {v_{2}}}=(3,\,-3)$, ${\vec {v_{3}}}=(3,\,3)$, ${\vec {v_{4}}}=(0,\,5)$ i ${\vec {v_{5}}}=(-3,\,3).$

b) Porta: ${\vec {u_{1}}}=(-2,\,-3)$, ${\vec {u_{2}}}=(-1,\,-3)$, ${\vec {u_{3}}}=(-1,\,-1)$ i ${\vec {u_{4}}}=(-2,\,-1).$

c) Finestra: ${\vec {w_{1}}}=(0,\,-2)$, ${\vec {w_{2}}}=(0,\,-1)$, ${\vec {w_{3}}}=(2,\,-1)$ i ${\vec {w_{4}}}=(2,\,-2).$

d) Placa solar: ${\vec {s_{1}}}=(-2,\,1)$, ${\vec {s_{2}}}=(-2,\,3)$, ${\vec {s_{3}}}=(2,\,3)$ i ${\vec {s_{4}}}=(2,\,1)$

Resultat:

Les dos darrers nombres de la matriu matrix indica el punt a=(1,2) és l'origen. <g transform="matrix(1,0,0,1,1,2)"> <path id="casa" d="M-3,-3L3,-3 3,3 0,5 -3,3z" stroke="#f8f" fill="none" stroke-width="0.1"/> </g> El camí de línies és una d="M on la majúscula M indica que el camí s'inicia en a. El -3,-3 no és més que el vector ${\vec {v_{1}}}=(-3,\,-3),$ on han estalviat cada parèntesi. La majúscula L fa que tots els vectors es reiniciïn des de la posició a unint-los amb línies rectes. La resta de nombres 3,-3 3,3 0,5 -3,3 són els 4 vectors següents també des del punt a. La z és per tancar el dibuix.

5) Construcció d'una figura dibuixant amb vectors successivament partint un sol cop del punt origen $b=(4,\,4),$ és semblant un cuc de fletxes. El dibuix és una imatge simètrica, per tant, és més fàcil veure'n els errors.

${\vec {u_{1}}}=(1,\,2)$, ${\vec {u_{2}}}=(0,\,2)$, ${\vec {u_{3}}}=(-1,\,1)$, ${\vec {u_{4}}}=(-1,\,-1)$, ${\vec {u_{5}}}=(0,\,-2)$, ${\vec {u_{6}}}=(2,\,-4)$, ${\vec {u_{5}}}$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{3}}}$, ${\vec {u_{2}}}$, ${\vec {u_{1}}}$, ${\vec {u_{7}}}=(2,\,1)$, ${\vec {u_{8}}}=(2,\,0)$, ${\vec {u_{9}}}=(1,\,-1)$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{10}}}=(-2,\,0)$, ${\vec {u_{11}}}=(-4,\,2)$, ${\vec {u_{10}}}$, ${\vec {u_{4}}}$, ${\vec {u_{9}}}$, ${\vec {u_{8}}}$ i ${\vec {u_{7}}}.$

Resultat:

d="M4,4l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 0,-2 2,-4 0,-2 -1,-1 -1,1 0,2 1,2 2,1 2,0 1,-1 -1,-1 -2,0 -4,2 -2,0 -1,-1 1,-1 2,0 2,1" La primera parella M4,4 serà el punt origen b. La ela minúscula "l" fa que els vectors formin cadenes que surten del punt origen b fent un camí.

Exercicis

1) Tenint en compte l'exemple 4: 1r Dibuixeu el vostre prototip de casa sobre paper: un perfil, una porta i una finestra. 2n Descarregueu l'arxiu de la casa en una carpeta o escriptori: Clica aquí per obrir-lo i descarregar-lo o "desar com a". 3r Obriu l'arxiu descarregat amb "obrir com" i busqueu l'elecció de "llibreta" o "bloc de notes", pels que tenen Chromebook utilitzeu editor web. 4t Editeu-lo segons el vostre dibuix desant-lo cada cop i amb el navegador aneu mirant els canvis visuals desats. 5è Un cop finalitzada la edició es desa com a NomCognom.svg obligat afegir svg i obligat seleccionar l'opció "tots els fitxers", sinó el editor fa el que vol. 6è Penjar-lo al classroom directament com a arxiu, no feu cas de la interpretació del classroom ja que s'obriran amb una carpeta per a la revisió. 2) Exercici de construcció d'un castell simple, uns 10 punts, aplicat sobre un dibuix SVG donat. Primer: Descàrrega del arxiu Clica aquí per obrir-lo i descarregar-lo. Segon: Editeu amb el bloc de notes la cadena d="M3,3l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 ... per substituir-los pels vostres vectors aquest cop vectors successius, és a dir, un darrere l'altre. Tercer: Paral·lelament, per veure el progrés del dibuix, només cal obrir el mateix arxiu amb un navegador bo i veure el nostre dibuix com es va fent. Quart: un cop ha quedat el castellet petit, l'imprimiu(blanc i negre). 3) Estic al punt $A=(-4,\,-1),$ puc arribar a casa meva en línia recta utilitzant el vector ${\vec {u}}=(2,\,1)$ i en repetir-ho 2'3 vegades. On està casa meva B? M'he trobat un amic que anava des de casa seva situat al punt $C=(-3,\,4)$ en direcció a la biblioteca al punt $D=(0,\,-2)$ en línia recta On ens hem trobat? 4) Visc al punt $A=(-1,\,1),$ sé que a mig camí de casa meva i el punt $B=(-3'5,\,2'4)$ tinc amagat un tresor. On tinc el tresor? Quan he fet la tercera part del camí de A a B he ensopegat. On he ensopegat?

Longitud d'un vector

Com que els nostres vectors uneixen 2 punts o ens envien del primer punt al segon punt, direm que la seva longitud o mòdul serà la distància entre aquests dos punts.

$Longitud({\vec {u}})=M(u_{1},\,u_{2})=\|(u_{1},\,u_{2})\|={\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}$

Angle respecte l'horitzontal

L'angle d'un vector en sentit antihorari respecte l'horitzontal és:

$\theta =Angle({\vec {u}})=Angle(u_{1},\,u_{2})=\arctan {\frac {u_{1}}{u_{2}}}$

Exemples

1) Calculeu el mòdul i l'angle del vectors donats:

a) $(1,\,1).$

b) $(-3,\,4).$

c) $(-1,\,-1).$

d) $(12,\,-5).$

2) Reconstrueix els vectors segons les dades donades:

a) Que el seu angle és 45º i la seva longitud és ${\sqrt {\,2\,}}.$

Dimensió

En aquesta secció només volem fer un esborrany de la forma com es veuen les dimensions des del punt de vista pràctic usant coordenades.

• Quan tenim una sola coordenada vol dir que només podem determinar la posició dins un fil per exemple. No el treballarem.

• Quan tenim dues coordenades vol dir que només podem determinar la posició dins d'un full per exemple.

• Quan tenim tres coordenades vol dir que només podem determinar la posició a l'espai 3D. No el treballarem.

• Quan tenim quatre coordenades vol dir que determinem punts en 3D+temps. No el treballarem.

Operacions amb vectors

Producte de dos vectors a escalar, el resultat és un nombre real $s={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$:

${\begin{array}{rc}&(a_{1},a_{2})\\\times &(b_{1},b_{2})\\\hline &a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}\end{array}}$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO