Zeros d'equacions de productes de monomis IV

Ara veiem de forma estesa, com buscar solucions d'equacions amb monomis i producte de monomis.

Bàsicament

Quan fem una equació d'un monomi igualat a zero, i busquem quins valors de "x" dona zero:

$2x-5=0$

Trivialment només cal aïllar la "x" donant:

$x={\frac {-5}{2}}$

Zeros de un producte de dos monomis

És quan fem una equació purament amb producte de monomis, si l'igualem a zero i busquem quins valors de "x" dona zero.

Si considerem els monomis del tipus $(x+a)$ per facilitar la visualització, tenim per exemple:

$(x+2)\cdot (x-3)=0$

Per que aquest producte sigui zero, un dels dos parèntesis ha de ser zero. Tenim doncs dos possibilitats:

Si el primer parèntesi és zero, vol dir que $(x+2)=0,$ per tant, el valor de la incògnita és $x=-2.$

Si el segon parèntesi és zero, vol dir que $(x-3)=0,$ per tant, el valor de la incògnita és $x=3.$

Llavors es diu que el producte $(x+2)\cdot (x-3)=0$ té una "x" amb dues solucions -2 i 3.

Producte de monomis en general

Trobeu els valors de "x" que fan zero el producte de monomis següent:

$(x+1)\cdot (x-3)\cdot (x+5)\cdot (x-0'1)\cdot (x-{\frac {1}{2}})\cdot (x+{\sqrt {2}})=0$

Per tant, sense importar els valors coneguts, assenyalem la solució directament:

Llavors el producte té les solucions o zeros següent: $-1,\,3,\,-5,\,0'1,\,{\frac {1}{2}},\,-{\sqrt {2}}.$

Exercici de raonament

Calculeu detalladament els zeros de:

$23\cdot (2x+4)\cdot (x)\cdot (x-(-1))=0$

Recorda que sortiran tantes solucions com "x" té aquesta equació, poden repetir-se moltes vegades, s'anomena multiplicitat del zero.

Raonament

Llegint els termes d'esquerra a dreta tenim:

a) El nombre o constant 23 que multiplica no té cap efecte per que mai és zero o bé simplement no té "x".

b) El següent és $(2x+4)=0,$ per tant $2x=-4$ $\Rightarrow x={\frac {-4}{2}}$ i finalment $x=-2.$

c) El següent terme que multiplica és $(x),$ per tant és zero si efectivament $x=0.$

d) Per últim $(x-(-1)),$ és zero si, $(x-(-1))=0$ $\Rightarrow x+1=0$ $\Rightarrow x=-1.$

Resumint, els valors de x són: -2, 0, -1.

Exercici

1) Calculeu els zeros de:

a) $x\cdot (x+1)\cdot x\cdot (x-1)=0$

b) $x\cdot x=0$

c) $(2x-8)\cdot (3x+12)=0$

d) $(x+1)\cdot (x+1)\cdot (x+1)\cdot (x+1)\cdot (x+1)=0$

e) $(x+2)\;x\;37\;(x+2)=0$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO