Resolució potències

Exercicis solucionats ordenadament.

Deures dia 13

Recordatori:

9) Situa els nombres sobre la recta real donada: només he ordenat.

${\begin{array}{cccccccc}-2,&-{\sqrt {3}},&-0'8,&-{\frac {1}{5}},&{\frac {1}{3}},&{\sqrt {2}},&{\frac {5}{2}},&\pi \\-2,&-1'732...,&-0'8,&-0'2,&0'3333...,&1'41421...,&2'5,&3'141592...\end{array}}$

10) Escriu dos nombres decimals entre 5'2 i 5'3:

Només cal afegir els decimals desitjats

5'2 < 5'21 < 5'22 < ... < 5'3

11) Escriu dues fraccions compreses entre ${\frac {7}{9}}$ i ${\frac {8}{9}}.$

Només cal fer fraccions equivalents multiplicant cada valor per un nombre concret, suposant que sigui deu dona:

${\frac {70}{90}}$ i ${\frac {80}{90}}.$

Per tant puc escollir les fraccions ${\frac {71}{90}},$ ${\frac {72}{90}},$ ${\frac {73}{90}},$ ...

12) Escriu dues fraccions entre $-{\frac {2}{3}}$ i $-{\frac {1}{3}}.$

Fem el mateix multiplicant per 10.

$-{\frac {20}{30}},$ $-{\frac {19}{30}},$ $-{\frac {18}{30}},$ ... $-{\frac {10}{30}}.$

13) Substituïu amb "<" o ">" en els espais següents:

Si x > 3'1 llavors -x < -3'1

Si x < 3'1 llavors -x > -3'1

14) Si tenim a<b i b<c llavors a < c.

Deures dia 14

Solucions ampliades:

• $5^{-1}={\frac {1}{5}}=0'2$
• $10^{-1}={\frac {1}{10}}=0'1$
• $100^{-1}={\frac {1}{100}}=0'01$

Potències de dos:

• $2^{8}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=256$
• $2^{7}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=128$
• $2^{6}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64$
• $2^{5}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$
• $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

Expresseu en forma de potència:

• $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{7}$
• $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{6}$
• $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{5}$
• $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{4}$

• Calculeu el valor de $(-1)^{5}=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1$
• Reduïu el signe de $(-2)^{6}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=2^{6}$
• Reduïu el signe de $(-3)^{7}=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=-3^{7}$
• Calculeu el valor de $(-1)^{8}=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=1$

Reduïu y calculeu les fraccions aplicant les propietats:

• $\left({\frac {2}{4}}\right)^{5}$ $=\left({\frac {1}{2}}\right)^{5}$ $={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}$ $={\frac {1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}$ $={\frac {1}{2^{5}}}={\frac {1}{32}}$
• $\left({\frac {2}{4}}\right)^{5}$ $=\left({\frac {1}{2}}\right)^{5}$ $=\left(2^{-1}\right)^{5}$ $=2^{-1\cdot 5}$ $=2^{-5}$ $={\frac {1}{2^{5}}}$

Calculeu reduint l'expressió següent:

• $\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{3}$ $=\left({\frac {2}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)^{3}$ $=\left({\frac {2-1}{2}}\right)^{3}$ $=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}$ $=\left(2^{-1}\right)^{3}$ $=2^{-3}$

Simplifiqueu:

• ${\frac {2^{5}}{8^{5}}}$ $={\frac {2^{5}}{\left(2^{3}\right)^{5}}}$ $={\frac {2^{5}}{2^{15}}}$ $=2^{5}\cdot 2^{-15}$

Deures dia 17

38) Expressa com una potència:

• ${\frac {1}{3^{9}}}=$ $3^{-9}$ o també com a curiositat ${\frac {1}{3^{9}}}=$ ${\frac {1^{9}}{3^{9}}}=$ $\left({\frac {1}{3}}\right)^{9}$
• ${\frac {1}{(-7)^{4}}}=$ ${\frac {1}{+(7)^{4}}}=$ ${\frac {1}{7^{4}}}=$ $7^{-4}$
• ${\frac {1}{\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}=$ $\left({\frac {3}{4}}\right)^{-2}=$ $\left({\frac {4}{3}}\right)^{2}$

41) Expressa només amb potències positives:

• ${\frac {5^{-3}\cdot 2^{3}}{3^{-2}\cdot 7^{4}}}=$ ${\frac {3^{2}\cdot 2^{3}}{5^{3}\cdot 7^{4}}}$
• ${\frac {11^{-3}\cdot 7^{2}}{13^{4}}}=$ ${\frac {7^{2}}{11^{3}\cdot 13^{4}}}$

Deures dia 18 i 20

43) Càlcul:

• $4\cdot (3+2)^{-2}-(2-3)^{2}=$ $4\cdot (5)^{-2}-(-1)^{2}=$ ${\frac {4}{5^{-2}}}-(1)=$ ${\frac {4}{5^{2}}}-{\frac {25}{25}}=$ ${\frac {4-25}{25}}=$ ${\frac {-21}{25}}$
• $10-(3-5)^{3}=$ $10-(-2)^{3}=$ $10-(-8)=$ $10+8=$ $18$
• $(5+2)^{-2}-(9-2)^{-1}=$ $(7)^{-2}-(7)^{-1}=$ ${\frac {1}{7^{2}}}-{\frac {1}{7}}=$ ${\frac {1}{7^{2}}}-{\frac {7}{7^{2}}}=$ ${\frac {1-7}{7^{2}}}=$ ${\frac {-6}{49}}$
• $(2^{-1}+3^{-1})^{-1}=$ $\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)^{-1}=$ $\left({\frac {5}{6}}\right)^{-1}=$ ${\frac {6}{5}}$
• ${\frac {3+2^{-1}}{5-4^{-1}}}=$ ${\frac {3+{\frac {1}{2}}}{5-{\frac {1}{4}}}}=$ ${\frac {\frac {7}{2}}{\frac {19}{4}}}=$ ${\frac {7\cdot 4}{2\cdot 19}}=$ ${\frac {7\cdot 2}{1\cdot 19}}=$ ${\frac {14}{19}}$
• $\left({\frac {-1}{4}}\right)^{3}+10\cdot 2^{-6}-\left({\frac {8}{3}}\right)^{-2}=$ ${\frac {(-1)^{3}}{4^{3}}}+{\frac {10}{2^{6}}}-{\frac {3^{2}}{8^{2}}}=$ ${\frac {-1}{64}}+{\frac {10}{64}}-{\frac {9}{64}}=$ ${\frac {-1+10-9}{64}}=$ ${\frac {0}{64}}=$ $0$

44) Expressa amb una sola potència:

• $(2^{3})^{-2}\cdot 2^{5}=$ $2^{3\cdot (-2)}\cdot 2^{5}=$ $2^{-6}\cdot 2^{5}=$ $2^{-6+5}=$ $2^{-1}$
• ${\frac {(3^{2})^{-5}}{3^{-4}}}=$ ${\frac {3^{2\cdot (-5)}}{3^{-4}}}=$ ${\frac {3^{-10}}{3^{-4}}}=$ $3^{-10-(-4)}=$ $3^{-6}$

Deures dia 21

Exemples de potències IV

Deures 25

Propietats usades:

Propietat commutativa:

$a\cdot r\cdot b\cdot s=a\cdot b\cdot r\cdot s$

Factor comú:

$a\cdot r+b\cdot r=(a+b)\cdot r$

1) $1,02\cdot 10^{5}\cdot 2,7\cdot 10^{2}=$ $1,02\cdot 2,7\cdot 10^{5}\cdot 10^{2}=$ $2,754\cdot 10^{5+2}=$ $2,754\cdot 10^{7}$

2) $1,508\cdot 10^{5}\div (3,1\cdot 10^{3})=$ ${\frac {1,508\cdot 10^{5}}{3,1\cdot 10^{3}}}=$ ${\frac {1,508}{3,1}}\cdot 10^{5-3}=$ $0,48\cdot 10^{2}$

3c) $2,1\cdot 10^{200}+1,7\cdot 10^{202}=$ ${\frac {2,1}{10^{2}}}\cdot 10^{200}\cdot 10^{2}+1,7\cdot 10^{202}=$ $0,021\cdot 10^{202}+1,7\cdot 10^{202}=$ $1,721\cdot 10^{202}$

3d) $2,1\cdot 10^{200}+1,7\cdot 10^{203}=$ ${\frac {2,1}{10^{3}}}\cdot 10^{200}\cdot 10^{3}+1,7\cdot 10^{203}=$ $0,0021\cdot 10^{203}+1,7\cdot 10^{203}=$ $1,7021\cdot 10^{203}$

4) ${\frac {7,014\cdot 10^{20}+8,4\cdot 10^{15}}{2\cdot 10^{-3}}}=$ ${\frac {7,014\cdot 10^{20}+{\frac {8,4}{10^{5}}}\cdot 10^{15}\cdot 10^{5}}{2\cdot 10^{-3}}}=$ ${\frac {7,014\cdot 10^{20}+0,000084\cdot 10^{20}}{2\cdot 10^{-3}}}=$ ${\frac {7,014084\cdot 10^{20}}{2\cdot 10^{-3}}}=$ ${\frac {7,014084}{2}}\cdot 10^{20-(-3)}=$ $3,507042\cdot 10^{23}$

5) ${\frac {1}{2,5\cdot 10^{50}}}=$ ${\frac {1}{2,5}}\cdot 10^{-50}=$ $0,4\cdot 10^{-50}=$ $4\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-50}=$ $4\cdot 10^{-51}$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO